Dados os seguintes vetores no espaço
:
Encontrar:
a) O produto escalar dos vetores:
b) O módulo dos vetores:
e
.
c) O ângulo dos vetores:
a) O produto escalar dos vetores:
c) O ângulo dos vetores:
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os vetores do enunciado).
Dados:
O enunciado pede três coisas:
a) Os produtos escalares e
.
b) Os módulos (normas) ,
,
e
.
c) Os ângulos entre os pares de vetores e
, e
e
(ou seja, os valores de
tais que
e
).
a) Os produtos escalares
b) Os módulos (normas)
c) Os ângulos entre os pares de vetores
Passo 2
Explicar e aplicar a fórmula do produto escalar (passo-a-passo).
Definição prática: para vetores em ,
Definição prática: para vetores em
o produto escalar é
Isso significa: multiplica-se componente a componente e soma-se os produtos. Não tem segredo, é só calcular cada multiplicação e somar.
Passo 3
Calcular
usando a fórmula do passo anterior.
Escrevendo componentes:
e
.
Aplicando
Calcule termo a termo:
Somando:
Logo
.
Passo 4
Calcular
.
Escrevendo componentes:
e
.
Aplicando a fórmula:
Calcule termo a termo:
Somando:
Logo
.
Passo 5
Explicar a fórmula do módulo (norma) de um vetor e calcular os módulos pedidos.
Definição prática: para ,
Definição prática: para
É a raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes (distância da origem).
Agora calculo cada norma passo a passo.
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Se quiser aproximações numéricas rápidas (úteis em prova para comparar):
,
,
. (Mas mantenha as formas em raiz exata sempre que possível.)
Passo 6
Explicar como obter o ângulo entre dois vetores a partir do produto escalar.
Fórmula fundamental: para vetores e
,
Fórmula fundamental: para vetores
onde
é o ângulo entre
e
com
. Portanto
e
.
Em prova: calcule o numerador (produto escalar) e o denominador (produto das normas), divida e aplique
. Cuidado com arredondamento: verifique que o quociente esteja no intervalo
antes de aplicar
.
Passo 7
Calcular o ângulo entre
e
.
Já temos
,
,
. Então
Observação:
. Numericamente,
Aplicando
,
Passo 8
Calcular o ângulo entre
e
.
Já temos
,
,
. Então
Numericamente,
Aplicando
,
Resposta
a)
\quad e \quad
b)
c)