Dados os seguintes vetores no espaço R^{3} :
\begin{array}{ll} \vec{u}=(2,3,-4), & \vec{v}=(3,6,4) . \\\ \vec{m}=(3,-4,0), & \vec{n}=(-3,-7,5) . \end{array}
Encontrar:
a) O produto escalar dos vetores:
\vec{u} \cdot \vec{v} \quad \mathrm{e} \quad \vec{m} \cdot \vec{n}
b) O módulo dos vetores: \vec{u}, \vec{v}, \vec{m} e \vec{n}.
c) O ângulo dos vetores:
\vec{u}, \vec{v} \quad e \quad \vec{m}, \vec{n}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os vetores do enunciado).
Dados:
  • \vec{u}=(2,3,-4)
  • \vec{v}=(3,6,4)
  • \vec{m}=(3,-4,0)
  • \vec{n}=(-3,-7,5)
O enunciado pede três coisas:
a) Os produtos escalares \vec{u}\cdot\vec{v} e \vec{m}\cdot\vec{n}.
b) Os módulos (normas) \|\vec{u}\|, \|\vec{v}\|, \|\vec{m}\| e \|\vec{n}\|.
c) Os ângulos entre os pares de vetores \vec{u} e \vec{v}, e \vec{m} e \vec{n} (ou seja, os valores de \theta tais que \theta=\angle(\vec{u},\vec{v}) e \theta=\angle(\vec{m},\vec{n})).

Passo 2

Explicar e aplicar a fórmula do produto escalar (passo-a-passo).
Definição prática: para vetores em \mathbb{R}^{3},
\vec{a}=(a_1,a_2,a_3),\qquad \vec{b}=(b_1,b_2,b_3),
o produto escalar é
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
Isso significa: multiplica-se componente a componente e soma-se os produtos. Não tem segredo, é só calcular cada multiplicação e somar.

Passo 3

Calcular \vec{u}\cdot\vec{v} usando a fórmula do passo anterior.
Escrevendo componentes:
\vec{u}=(2,3,-4) e \vec{v}=(3,6,4).
Aplicando
\vec{u}\cdot\vec{v}=2\cdot 3 + 3\cdot 6 + (-4)\cdot 4.
Calcule termo a termo:
2\cdot 3 = 6,\qquad 3\cdot 6 = 18,\qquad (-4)\cdot 4 = -16.
Somando:
6+18-16 = 8.
Logo \vec{u}\cdot\vec{v}=8.

Passo 4

Calcular \vec{m}\cdot\vec{n}.
Escrevendo componentes:
\vec{m}=(3,-4,0) e \vec{n}=(-3,-7,5).
Aplicando a fórmula:
\vec{m}\cdot\vec{n}=3\cdot(-3) + (-4)\cdot(-7) + 0\cdot 5.
Calcule termo a termo:
3\cdot(-3) = -9,\qquad (-4)\cdot(-7)=28,\qquad 0\cdot 5 = 0.
Somando:
-9+28+0 = 19.
Logo \vec{m}\cdot\vec{n}=19.

Passo 5

Explicar a fórmula do módulo (norma) de um vetor e calcular os módulos pedidos.
Definição prática: para \vec{a}=(a_1,a_2,a_3),
\|\vec{a}\|=\sqrt{a_1^{2}+a_2^{2}+a_3^{2}}.
É a raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes (distância da origem).
Agora calculo cada norma passo a passo.
Para \vec{u}=(2,3,-4):
\|\vec{u}\|=\sqrt{2^{2}+3^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt{4+9+16}=\sqrt{29}.
Para \vec{v}=(3,6,4):
\|\vec{v}\|=\sqrt{3^{2}+6^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+36+16}=\sqrt{61}.
Para \vec{m}=(3,-4,0):
\|\vec{m}\|=\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}+0^{2}}=\sqrt{9+16+0}=\sqrt{25}=5.
Para \vec{n}=(-3,-7,5):
\|\vec{n}\|=\sqrt{(-3)^{2}+(-7)^{2}+5^{2}}=\sqrt{9+49+25}=\sqrt{83}.
Se quiser aproximações numéricas rápidas (úteis em prova para comparar): \sqrt{29}\approx 5,385, \sqrt{61}\approx 7,810, \sqrt{83}\approx 9,110. (Mas mantenha as formas em raiz exata sempre que possível.)

Passo 6

Explicar como obter o ângulo entre dois vetores a partir do produto escalar.
Fórmula fundamental: para vetores \vec{a} e \vec{b},
\vec{a}\cdot\vec{b}=\|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre \vec{a} e \vec{b} com 0\le\theta\le\pi. Portanto
\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|},
e \theta=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|}\right).
Em prova: calcule o numerador (produto escalar) e o denominador (produto das normas), divida e aplique \operatorname{arccos}. Cuidado com arredondamento: verifique que o quociente esteja no intervalo [-1,1] antes de aplicar \operatorname{arccos}.

Passo 7

Calcular o ângulo entre \vec{u} e \vec{v}.
Já temos \vec{u}\cdot\vec{v}=8, \|\vec{u}\|=\sqrt{29}, \|\vec{v}\|=\sqrt{61}. Então
\cos\theta_{uv}=\frac{8}{\sqrt{29}\,\sqrt{61}}=\frac{8}{\sqrt{1769}}.
Observação: 29\cdot 61=1769. Numericamente,
\cos\theta_{uv}\approx 0,190188.
Aplicando \operatorname{arccos},
\theta_{uv}=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{8}{\sqrt{1769}}\right)\approx 1{,}3790\\ \text{rad}\approx 79{,}06^\circ.

Passo 8

Calcular o ângulo entre \vec{m} e \vec{n}.
Já temos \vec{m}\cdot\vec{n}=19, \|\vec{m}\|=5, \|\vec{n}\|=\sqrt{83}. Então
\cos\theta_{mn}=\frac{19}{5\sqrt{83}}.
Numericamente,
\cos\theta_{mn}\approx 0,41729.
Aplicando \operatorname{arccos},
\theta_{mn}=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{19}{5\sqrt{83}}\right)\approx 1{,}1404\\ \text{rad}\approx 65{,}33^\circ.

Resposta

a) \vec{u}\cdot\vec{v}=8 \quad e \quad \vec{m}\cdot\vec{n}=19
b) \|\vec{u}\|=\sqrt{29},\quad \|\vec{v}\|=\sqrt{61},\quad \|\vec{m}\|=5,\quad \|\vec{n}\|=\sqrt{83}
c) \angle(\vec{u},\vec{v})=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{8}{\sqrt{29}\sqrt{61}}\right)\approx 1{,}3790\\ \text{rad}\approx 79{,}06^\circ
\newline
\angle(\vec{m},\vec{n})=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{19}{5\sqrt{83}}\right)\approx 1{,}1404\\ \text{rad}\approx 65{,}33^\circ

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