Dados os seguintes vetores no plano R^{2} :
\vec{u}=(3,-2) \text { e } \vec{v}=(-1,5)
Aplicar as propriedades comutativa e vetor oposto, da adição de dois vetores.
(1,0 ponto)

Passo 1

Dados fornecidos:
  • Os vetores no plano \mathbb{R}^{2} são \vec{u}=(3,-2) e \vec{v}=(-1,5).
O que o enunciado pede (objetivos claros):
  • Aplicar a propriedade comutativa da adição vetorial: mostrar que \vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}.
  • Aplicar a propriedade do vetor oposto: encontrar o oposto de um vetor (por exemplo -\vec{u}) e verificar que \vec{u}+(-\vec{u})=\vec{0}. Pode-se também verificar o mesmo para \vec{v}.

Passo 2

Definição e regra prática da adição de vetores em componentes:
  • Se \vec{a}=(a_1,a_2) e \vec{b}=(b_1,b_2), então a adição componente a componente é definida por
\vec{a}+\vec{b}=(a_1+b_1,\;a_2+b_2).
Explicação curta: somamos as primeiras componentes entre si e as segundas componentes entre si. Isso é direto e fácil de aplicar na prova (basta somar coordenada a coordenada).

Passo 3

Calcular \vec{u}+\vec{v} usando a regra componente a componente:
\vec{u}+\vec{v}=(3+(-1),\;-2+5).
Agora faço as somas:
3+(-1)=2,\qquad -2+5=3.
Portanto
\vec{u}+\vec{v}=(2,3).

Passo 4

Calcular \vec{v}+\vec{u} e comparar:
\vec{v}+\vec{u}=(-1+3,\;5+(-2)).
Fazendo as somas:
-1+3=2,\qquad 5+(-2)=3.
Logo
\vec{v}+\vec{u}=(2,3).
Comparando com o resultado do passo anterior, \vec{u}+\vec{v}=(2,3) e \vec{v}+\vec{u}=(2,3). Assim, a propriedade comutativa da adição vetorial fica verificada neste caso: \vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}.

Passo 5

Definição do vetor oposto e propriedade associada:
  • Para qualquer vetor \vec{a}=(a_1,a_2), o oposto (ou vetor negativo) é definido por
-\vec{a}=(-a_1,\,-a_2).
  • Propriedade importante: \vec{a}+(-\vec{a})=\vec{0}, onde \vec{0}=(0,0) é o vetor nulo. Isso é imediato pela definição de adição componente a componente, porque a_1+(-a_1)=0 e a_2+(-a_2)=0.

Passo 6

Calcular o oposto de \vec{u} e verificar \vec{u}+(-\vec{u})=\vec{0}:
-\vec{u}=(-(3),\,-(-2))=(-3,2).
Agora somo \vec{u} com -\vec{u}:
\vec{u}+(-\vec{u})=(3+(-3),\;-2+2).
Fazendo as somas:
3+(-3)=0,\qquad -2+2=0,
portanto
\vec{u}+(-\vec{u})=(0,0)=\vec{0}.

Passo 7

Para completar, calcular também o oposto de \vec{v} e verificar:
-\vec{v}=(-(-1),\,-5)=(1,-5).
E
\vec{v}+(-\vec{v})=(-1+1,\;5+(-5))=(0,0)=\vec{0}.

Resposta

\vec{u}+\vec{v}=(2,3)
\vec{v}+\vec{u}=(2,3)
-\vec{u}=(-3,2)
\vec{u}+(-\vec{u})=(0,0)
-\vec{v}=(1,-5)
\vec{v}+(-\vec{v})=(0,0)

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