Dados os seguintes vetores no plano
:
Aplicar as propriedades comutativa e vetor oposto, da adição de dois vetores.
(1,0 ponto)
(1,0 ponto)
Passo 1
Dados fornecidos:
- Os vetores no plano
são e .
O que o enunciado pede (objetivos claros):
- Aplicar a propriedade comutativa da adição vetorial: mostrar que
. - Aplicar a propriedade do vetor oposto: encontrar o oposto de um vetor (por exemplo
) e verificar que . Pode-se também verificar o mesmo para .
Passo 2
Definição e regra prática da adição de vetores em componentes:
- Se
e , então a adição componente a componente é definida por
Explicação curta: somamos as primeiras componentes entre si e as segundas componentes entre si. Isso é direto e fácil de aplicar na prova (basta somar coordenada a coordenada).
Passo 3
Calcular
usando a regra componente a componente:
Agora faço as somas:
Portanto
Passo 4
Calcular
e comparar:
Fazendo as somas:
Logo
Comparando com o resultado do passo anterior,
e
. Assim, a propriedade comutativa da adição vetorial fica verificada neste caso:
.
Passo 5
Definição do vetor oposto e propriedade associada:
- Para qualquer vetor
, o oposto (ou vetor negativo) é definido por
- Propriedade importante:
, onde é o vetor nulo. Isso é imediato pela definição de adição componente a componente, porque e .
Passo 6
Calcular o oposto de
e verificar
:
Agora somo
com
:
Fazendo as somas:
portanto
Passo 7
Para completar, calcular também o oposto de
e verificar:
E