Dados os pontos P(5,-1,2), A(3,1,-3) e B(4,-1,1). Determine:
\overrightarrow{B P} \times \overrightarrow{P A}

Passo 1

O enunciado dá os pontos P(5,-1,2), A(3,1,-3) e B(4,-1,1) e pede o produto vetorial \overrightarrow{BP}\times\overrightarrow{PA}. Vamos usar operações de diferença de coordenadas para obter os vetores e a definição do produto vetorial em \mathbb{R}^3.

Passo 2

Calcular
\overrightarrow{BP}=P - B=(5-4,\;-1-(-1),\;2-1)=(1,0,1).

Passo 3

Calcular
\overrightarrow{PA}=A - P=(3-5,\;1-(-1),\;-3-2)=(-2,2,-5).

Passo 4

A definição do produto vetorial de \mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3) e \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3) é
\mathbf{a}\times\mathbf{b} = \bigl(a_2b_3 - a_3b_2,\;a_3b_1 - a_1b_3,\;a_1b_2 - a_2b_1\bigr).
Tomando \mathbf{a}=\overrightarrow{BP}=(1,0,1) e \mathbf{b}=\overrightarrow{PA}=(-2,2,-5), obtemos
\overrightarrow{BP}\times\overrightarrow{PA} =\bigl(0\cdot(-5)-1\cdot2,\;1\cdot(-2)-1\cdot(-5),\;1\cdot2-0\cdot(-2)\bigr) =(-2,\,3,\,2).

Resposta

(-2,3,2)

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