Dados os pontos P(5,-1,2), A(3,1,-3) e B(4,-1,1). Determine:
\overrightarrow{A B} \times \overrightarrow{P B}

Passo 1

O enunciado dá os pontos P(5,-1,2), A(3,1,-3) e B(4,-1,1), e pede o produto vetorial \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{PB}. O conteúdo aqui é o produto vetorial em \mathbb{R}^3. Para resolver, vamos
  1. determinar os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{PB},
  2. aplicar a definição do produto vetorial como determinante de uma matriz 3\times3.

Passo 2

Calculamos os vetores a partir das diferenças de coordenadas:
\overrightarrow{AB}=B-A=(4-3,\;-1-1,\;1-(-3))=(1,\,-2,\;4),
\overrightarrow{PB}=B-P=(4-5,\;-1-(-1),\;1-2)=(-1,\;0,\;-1).

Passo 3

Usamos a fórmula do determinante para o produto vetorial
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{PB} =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 1 & -2 & 4\\\\ -1 & 0 & -1 \end{vmatrix}.
Expandindo, obtemos
\mathbf{i}\bigl((-2)\cdot(-1)-4\cdot0\bigr) -\mathbf{j}\bigl(1\cdot(-1)-4\cdot(-1)\bigr) +\mathbf{k}\bigl(1\cdot0-(-2)\cdot(-1)\bigr).

Passo 4

Calculando cada componente:
\mathbf{i} (2-0) -\mathbf{j}(-1+4) +\mathbf{k}(0-2) =2\,\mathbf{i}-3\,\mathbf{j}-2\,\mathbf{k}.

Resposta

\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{PB}=(2,\,-3,\,-2).

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