Determine as equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto A(-3,4,1) e é ortogonal comum às retas: r_{1}:(x, y, z)=(0,0,1)+t(2,3,-4) e r_{2}:\left\{\begin{array}{c}x=5 \\\ y=t \\\ z=1-t\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
Ponto por onde a reta r passa: A(-3,4,1).
Equação da reta r_{1} na forma vetorial: \,(x,y,z)=(0,0,1)+t(2,3,-4). Dela extraio o ponto P_{1}=(0,0,1) e o vetor diretor \mathbf{v}_{1}=(2,3,-4).
Equação da reta r_{2} na forma paramétrica: \displaystyle x=5,\; y=t,\; z=1-t. Dela extraio um ponto quando t=0, P_{2}=(5,0,1), e o vetor diretor \mathbf{v}_{2}=(0,1,-1).
O que o problema pede:
Determinar equações paramétricas da reta r que passa por A e é ortogonal comum às retas r_{1} e r_{2}. Ou seja, a direção de r deve ser perpendicular a \mathbf{v}_{1} e a \mathbf{v}_{2}, e a reta passa por A.
Passo 2
Ideia do método (passo-a-passo didático e porquê):
Se um vetor \mathbf{d} é perpendicular a outro vetor \mathbf{v}, então o produto escalar satisfaz \mathbf{d}\cdot\mathbf{v}=0. Logo queremos \mathbf{d} tal que \mathbf{d}\cdot\mathbf{v}_{1}=0 e \mathbf{d}\cdot\mathbf{v}_{2}=0.
Um jeito direto de obter um vetor perpendicular a dois vetores não paralelos \mathbf{v}_{1} e \mathbf{v}_{2} é usar o produto vetorial (cross product): \mathbf{v}_{1}\times\mathbf{v}_{2} é um vetor perpendicular a ambos.
Então vou calcular \mathbf{d}=\mathbf{v}_{1}\times\mathbf{v}_{2} e usar \mathbf{d} como vetor diretor da reta r. Depois escrevo a reta que passa por A com esse vetor diretor.
Breve aula sobre produto vetorial:
Para \mathbf{v}_{1}=(v_{1x},v_{1y},v_{1z}) e \mathbf{v}_{2}=(v_{2x},v_{2y},v_{2z}),
Verificação rápida (para ganhar confiança): mostrar que \mathbf{d} é realmente perpendicular aos vetores diretores dados, calculando os produtos escalares.
Como os produtos escalares são zero, a reta encontrada é perpendicular aos dois vetores diretores — ou seja, é ortogonal às duas retas no sentido de direção.
Observação adicional (importante para prova): esta reta é ortogonal às duas direções; porém, se a definição exigisse que a reta fosse também intersectar cada uma das retas (isto é, ser uma “perpendicular comum” que cruza ambas), seria necessário verificar a existência de pontos de interseção. No caso aqui, ao tentar resolver para interseção vê-se que não há solução (a reta obtida não cruza r_{1} nem r_{2}); portanto é ortogonal às duas retas por direção, mas não as intersecta. A questão, tal como formulada, pediu apenas “ortogonal comum”, que neste contexto foi interpretado como reta perpendicular às duas direções — procedimento padrão.