Determine as equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto A(-3,4,1) e é ortogonal comum às retas:
r_{1}:(x, y, z)=(0,0,1)+t(2,3,-4) e r_{2}:\left\{\begin{array}{c}x=5 \\\ y=t \\\ z=1-t\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Ponto por onde a reta r passa: A(-3,4,1).
  • Equação da reta r_{1} na forma vetorial: \,(x,y,z)=(0,0,1)+t(2,3,-4). Dela extraio o ponto P_{1}=(0,0,1) e o vetor diretor \mathbf{v}_{1}=(2,3,-4).
  • Equação da reta r_{2} na forma paramétrica: \displaystyle x=5,\; y=t,\; z=1-t. Dela extraio um ponto quando t=0, P_{2}=(5,0,1), e o vetor diretor \mathbf{v}_{2}=(0,1,-1).
O que o problema pede:
  • Determinar equações paramétricas da reta r que passa por A e é ortogonal comum às retas r_{1} e r_{2}. Ou seja, a direção de r deve ser perpendicular a \mathbf{v}_{1} e a \mathbf{v}_{2}, e a reta passa por A.

Passo 2

Ideia do método (passo-a-passo didático e porquê):
  • Se um vetor \mathbf{d} é perpendicular a outro vetor \mathbf{v}, então o produto escalar satisfaz \mathbf{d}\cdot\mathbf{v}=0. Logo queremos \mathbf{d} tal que \mathbf{d}\cdot\mathbf{v}_{1}=0 e \mathbf{d}\cdot\mathbf{v}_{2}=0.
  • Um jeito direto de obter um vetor perpendicular a dois vetores não paralelos \mathbf{v}_{1} e \mathbf{v}_{2} é usar o produto vetorial (cross product): \mathbf{v}_{1}\times\mathbf{v}_{2} é um vetor perpendicular a ambos.
  • Então vou calcular \mathbf{d}=\mathbf{v}_{1}\times\mathbf{v}_{2} e usar \mathbf{d} como vetor diretor da reta r. Depois escrevo a reta que passa por A com esse vetor diretor.
Breve aula sobre produto vetorial:
  • Para \mathbf{v}_{1}=(v_{1x},v_{1y},v_{1z}) e \mathbf{v}_{2}=(v_{2x},v_{2y},v_{2z}),
\mathbf{v}_{1}\times\mathbf{v}_{2}= \bigl(v_{1y}v_{2z}-v_{1z}v_{2y},\; v_{1z}v_{2x}-v_{1x}v_{2z},\; v_{1x}v_{2y}-v_{1y}v_{2x}\bigr).
Esse vetor é ortogonal a \mathbf{v}_{1} e a \mathbf{v}_{2} (verifica-se fazendo produto escalar: dá zero).

Passo 3

Calcular o produto vetorial entre \mathbf{v}_{1}=(2,3,-4) e \mathbf{v}_{2}=(0,1,-1).
Usando a fórmula:
\mathbf{v}_{1}\times\mathbf{v}_{2}= \bigl(3\cdot(-1)-(-4)\cdot1,\;(-4)\cdot0-2\cdot(-1),\;2\cdot1-3\cdot0\bigr).
Agora calculando cada componente:
\text{1ª componente }=3\cdot(-1)-(-4)\cdot1=-3+4=1,ª
\text{2ª componente }=(-4)\cdot0-2\cdot(-1)=0+2=2,ª
\text{3ª componente }=2\cdot1-3\cdot0=2-0=2.ª
Portanto
\mathbf{d}=\mathbf{v}_{1}\times\mathbf{v}_{2}=(1,2,2).

Passo 4

Construir a equação paramétrica da reta r que passa por A(-3,4,1) e tem vetor diretor \mathbf{d}=(1,2,2).
Forma vetorial:
(x,y,z)=(-3,4,1)+s(1,2,2).
Convertendo para as equações paramétricas coordenada a coordenada:
x=-3+s,\qquad y=4+2s,\qquad z=1+2s,\qquad s\in\mathbb{R}.

Passo 5

Verificação rápida (para ganhar confiança): mostrar que \mathbf{d} é realmente perpendicular aos vetores diretores dados, calculando os produtos escalares.
Cálculo:
\mathbf{d}\cdot\mathbf{v}_{1}=1\cdot2+2\cdot3+2\cdot(-4)=2+6-8=0,
\mathbf{d}\cdot\mathbf{v}_{2}=1\cdot0+2\cdot1+2\cdot(-1)=0+2-2=0.
Como os produtos escalares são zero, a reta encontrada é perpendicular aos dois vetores diretores — ou seja, é ortogonal às duas retas no sentido de direção.
Observação adicional (importante para prova): esta reta é ortogonal às duas direções; porém, se a definição exigisse que a reta fosse também intersectar cada uma das retas (isto é, ser uma “perpendicular comum” que cruza ambas), seria necessário verificar a existência de pontos de interseção. No caso aqui, ao tentar resolver para interseção vê-se que não há solução (a reta obtida não cruza r_{1} nem r_{2}); portanto é ortogonal às duas retas por direção, mas não as intersecta. A questão, tal como formulada, pediu apenas “ortogonal comum”, que neste contexto foi interpretado como reta perpendicular às duas direções — procedimento padrão.

Resposta

(x,y,z)=(-3,4,1)+s(1,2,2)
x=-3+s,\quad y=4+2s,\quad z=1+2s,\quad s\in\mathbb{R}

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