Dados os pontos
e
, determine a distância: (a) de Q até a origem; (b) de P até o plano
; © entre P e Q .
Passo 1
Beleza, o enunciado pede três distâncias envolvendo dois pontos:
- Q já tá em coordenadas cartesianas
. - P tá em coordenadas esféricas
.
O conteúdo é geometria analítica 3D. A gente vai precisar de:
- fórmula da distância ponto-origem
, - conversão de esféricas pra cartesianas
- fórmula da distância de ponto a plano
, que é , - fórmula da distância entre dois pontos
.
A partir do próximo passo a gente manda ver nos cálculos.
Passo 2
(a) Distância de
até a origem é
Passo 3
Antes de (b) e ©, convertemos
pra cartesianas:
Calculando (em valores aproximados):
Então
Passo 4
(b) Distância de
dP,,y=0 = |4,618|approx4,618 ao plano
é simplesmente
:
Passo 5
© Distância entre
dPQ =raiz(xP-3)^2 + (yP+1)^2 + (zP-4)^2 =raiz(-1,682-3)^2 + (4,618+1)^2 + (-3,442-4)^2 e
=raiz(-4,682)^2 + (5,618)^2 + (-7,442)^2 approxraiz21,924 +31,561 +55,394 =raiz108,879 approx10,435 :
Resposta
a)
b)
c)
b)
c)