Dados os pontos P(r=6, theta=110^circ, phi=125^circ) e Q(x=3, y=-1, z=4), determine a distância: (a) de Q até a origem; (b) de P até o plano y=0; © entre P e Q .

Passo 1

Beleza, o enunciado pede três distâncias envolvendo dois pontos:
  • Q já tá em coordenadas cartesianas .
  • P tá em coordenadas esféricas .
O conteúdo é geometria analítica 3D. A gente vai precisar de:
  1. fórmula da distância ponto-origem ,
  2. conversão de esféricas pra cartesianas
  3. fórmula da distância de ponto a plano , que é ,
  4. fórmula da distância entre dois pontos .
A partir do próximo passo a gente manda ver nos cálculos.

Passo 2

(a) Distância de dQO ;=;raiz3^2 + (-1)^2 + 4^2 ;=;raiz9 + 1 + 16 ;=;raiz26 approx 5,099 até a origem é

Passo 3

Antes de (b) e ©, convertemos xP = 6,sin125^circcos110^circ, yP = 6,sin125^circsin110^circ, zP = 6,cos125^circ pra cartesianas:
sin125^circapprox0,8192,; cos110^circapprox -0,3420,; sin110^circapprox0,9397,; cos125^circapprox -0,5736
Calculando (em valores aproximados):
xPapprox6cdot0,8192cdot(-0,3420)approx -1,682, yPapprox6cdot0,8192cdot0,9397approx4,618, zPapprox6cdot(-0,5736)approx -3,442
Então

Passo 4

(b) Distância de dP,,y=0 = |4,618|approx4,618 ao plano é simplesmente :

Passo 5

© Distância entre dPQ =raiz(xP-3)^2 + (yP+1)^2 + (zP-4)^2 =raiz(-1,682-3)^2 + (4,618+1)^2 + (-3,442-4)^2 e =raiz(-4,682)^2 + (5,618)^2 + (-7,442)^2 approxraiz21,924 +31,561 +55,394 =raiz108,879 approx10,435 :

Resposta

a)
b)
c)

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