(a) Expresse o campo de temperaturas T=240+z^2-2 x y em coordenadas cilíndricas.
(b) Determine o valor da densidade D=e^-z^2(2+rho^3 cos ^2 phi) no ponto P(-2,-5,1).

Passo 1

Beleza! O exercício tem duas partes:
(a) transformar o campo de temperatura
T(x,y,z)=240 + z^2 - 2xy
para coordenadas cilíndricas;
(b) calcular a densidade
D(rho,phi,z) = e^-z^2l(2 + rho^3cos^2phir)
no ponto x = rhocosphi, y = rhosinphi, z = z .
O que a gente precisa: saber a definição de coordenadas cilíndricas
e saber como substituir e, no (b), achar e pro ponto dado.

Passo 2

Vamos fazer (a).
  1. Em cilíndricas, T = 240 + z^2 - 2l(rhocosphir)l(rhosinphir) = 240 + z^2 - 2,rho^2cosphisinphi e T = 240 + z^2 - rho^2sin(2phi) .
  2. Substituindo em :
  1. Se a gente quiser, usa a identidade , então

Passo 3

Agora (b). Queremos
D = e^-z^2l(2 + rho^3cos^2phir)
no ponto rho^3cos^2phi = (raiz29)^3;429 = 29^3/2;429 = 4raiz29 .
  1. Primeiro, D = e^-1l(2 + 4raiz29r)
  2. Depois, , logo
  3. Então
  1. E , então .
  2. Substituindo em :

Resposta

(a)
ou, equivalentemente, .
(b)

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