(a) Expresse o campo vetorial W=(x-y) ay em coordenadas cilíndricas.
(b) Expresse o campo vetorial F=rho cos phi arho em coordenadas cartesianas.

Passo 1

Beleza, olha só o que o exercício pede: é sobre trocar coordenadas entre o sistema cartesiano (x,y) e o cilíndrico x = rhocosphi, y = rhosinphi, z = z, .
Conteúdo: transformação de variáveis e de versores.
O que vamos usar:
  1. As relações de posição
arho = cosphi,ax + sinphi,ay, aphi = -sinphi,ax + cosphi,ay
  1. A relação entre os versores
Com isso em mãos, a gente faz:
(a) expressar em coordenadas cilíndricas;
(b) expressar em cartesianas.

Passo 2

Parte (a): x - y = rhocosphi - rhosinphi = rho(cosphi - sinphi) → cilíndricas.
  1. Substitui ay = sinphi,arho + cosphi,aphi e W = rho(cosphi - sinphi),l(sinphi,arho + cosphi,aphir) por W = rhol[(cosphi - sinphi)sinphir],arho + rhol[(cosphi - sinphi)cosphir],aphi e :
  2. Escreve em função de e .
    Da relação inversa de versores temos
  3. Monta :
  4. Distribui os termos:

Passo 3

Parte (b): F = rhocosphil(cosphi,ax + sinphi,ayr) = rhocos^2phi,ax + rhosinphi,cosphi,ay → cartesianas.
  1. Usa rho = raizx^2+y^2, cosphi = xrho, sinphi = yrho .
    Então rhocos^2phi = rhol(xrhor)^2 = x^2rho, rhosinphicosphi = rhoyrhoxrho = xyrho
  2. Expressa F = x^2raizx^2+y^2,ax + xyraizx^2+y^2,ay em :
  3. Substitui:
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Resposta

(a)
(b)

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