(a) Expresse o campo vetorial em coordenadas esféricas.
(b) Expresse o campo vetorial F=r cos phi ar em coordenadas cartesianas.
Passo 1
Beleza, o exercício tem duas partes:
(a) a gente pega o campo vetorial x = rsinphicostheta, y = rsinphisintheta, z = rcosphi dado em coordenadas cartesianas e precisa escrever ele em coordenadas esféricas;
(b) agora começa com em esféricas e manda pra cartesianas.
O conteúdo central é transformação de coordenadas e base, ou seja:
saber que em esféricas (aqui usamos , ângulo polar medido a partir de , e como azimute no plano )
as relações
e como escrever os vetores de base cartesianas em termos de (ou vice-versa).
A partir do próximo passo a gente já começa a rodar a teoria e faz o cálculo de cada parte.
Passo 2
Primeiro, parte (a).
Escreve x = rsinphicostheta, y = rsinphisintheta e x - y = rsinphil(costheta - sinthetar) em esféricas: vec ay = sinphi,sintheta,vec ar + cosphi,sintheta,vec aphi + costheta,vec atheta Então
Precisamos da base em função de . A relação padrão é:Isso vem de inverter as projeções das bases esféricas nas cartesianas.
Passo 3
Agora juntamos tudo:
vec W = (x - y),vec ay = rsinphil(costheta - sinthetar) l[ sinphi,sintheta,vec ar + cosphi,sintheta,vec aphi + costheta,vec atheta r]