(a) Expresse o campo vetorial W=(x-y) ay em coordenadas esféricas.
(b) Expresse o campo vetorial F=r cos phi ar em coordenadas cartesianas.

Passo 1

Beleza, o exercício tem duas partes:
(a) a gente pega o campo vetorial x = rsinphicostheta, y = rsinphisintheta, z = rcosphi dado em coordenadas cartesianas e precisa escrever ele em coordenadas esféricas;
(b) agora começa com em esféricas e manda pra cartesianas.
O conteúdo central é transformação de coordenadas e base, ou seja:
  • saber que em esféricas (aqui usamos , ângulo polar medido a partir de , e como azimute no plano )
  • as relações
  • e como escrever os vetores de base cartesianas em termos de (ou vice-versa).
A partir do próximo passo a gente já começa a rodar a teoria e faz o cálculo de cada parte.

Passo 2

Primeiro, parte (a).
  1. Escreve x = rsinphicostheta, y = rsinphisintheta e x - y = rsinphil(costheta - sinthetar) em esféricas: vec ay = sinphi,sintheta,vec ar + cosphi,sintheta,vec aphi + costheta,vec atheta Então
  2. Precisamos da base em função de . A relação padrão é: Isso vem de inverter as projeções das bases esféricas nas cartesianas.

Passo 3

Agora juntamos tudo:
vec W = (x - y),vec ay = rsinphil(costheta - sinthetar) l[ sinphi,sintheta,vec ar + cosphi,sintheta,vec aphi + costheta,vec atheta r]
Se quiser separar componentes:
Wr = r,sin^2!phi,sintheta,l(costheta-sinthetar), Wphi = r,sinphi,cosphi,sintheta,l(costheta-sinthetar), Wtheta= r,sinphi,costheta,l(costheta-sinthetar)

Passo 4

Agora parte (b).
O campo é vec F = z,x,vec ax + y,vec ay + z,vec azr = xzr,vec ax + yzr,vec ay + z^2r,vec az, .
  1. Primeiro, .
  2. Depois,
    Então
onde .

Resposta

(a)
boxed vec W = rsinphi,(costheta-sintheta),l[ sinphi,sintheta,vec ar + cosphi,sintheta,vec aphi + costheta,vec atheta r]
(b)
boxed vec F = xzraizx^2+y^2+z^2,vec ax + yzraizx^2+y^2+z^2,vec ay + z^2raizx^2+y^2+z^2,vec az

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