Dados os pontos P(rho=6, phi=125^circ, z=-3) e Q(x=3, y=-1, z=4), determine a distância:
(a) de P até a origem; (b) de Q até o pé da perpendicular que passa por este ponto, em relação ao eixo z; © entre P e Q .

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz o seguinte: temos dois pontos no espaço—um em coordenadas cilíndricas, d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2 , e outro em coordenadas cartesianas, . Precisamos achar:
(a) a distância de até a origem,
(b) a distância de até o “pé” da perpendicular dele à reta do eixo ,
© e a distância entre e .
Conteúdo: distância em coordenadas 3D, conversão de cilíndricas para cartesianas e uso da fórmula
Vamos precisar de:
  1. saber que ,
  2. fórmula da distância no espaço,
  3. conversão .

Passo 2

(a) Distância de raizx^2+y^2+z^2 =raizrho^2+z^2 =raiz6^2+(-3)^2 =raiz36+9 =raiz45 =3raiz5 até a origem:
Em cilíndricas, a distância ao ponto é

Passo 3

(b) Distância de raiz(3-0)^2 + (-1-0)^2 + (4-4)^2 =raiz3^2 + (-1)^2 + 0^2 =raiz9+1 =raiz10 ao pé da perpendicular que cai no eixo :
O eixo é a reta . O pé da perpendicular de nele é .
Aplicando a fórmula da distância:
Geometricamente dá na mesma de .

Passo 4

© Distância entre xP = 6cos125^circ, yP = 6sin125^circ, zP = -3 e xPapprox 6times(-0.5736) = -3.4416, yPapprox 6times0.8192 = 4.9152 :
  1. Primeiro convertemos d(P,Q) =raiz(xP - 3)^2 + (yP + 1)^2 + (-3 - 4)^2 pra cartesianas:
=raiz(-3.4416 - 3)^2 + (4.9152 + 1)^2 + (-7)^2 =raiz(-6.4416)^2 + (5.9152)^2 + 49 approxraiz41.51 + 34.98 + 49 approxraiz125.49 approx11.20
Em valores aproximados,
, , então
  1. Agora aplicamos a fórmula da distância:

Resposta

(a)
(b)
©

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