Dados os pontos
,
e
, determine:
(1.2) Três outros conjuntos de coordenadas polares para os pontos
e
.
(1.2) Três outros conjuntos de coordenadas polares para os pontos
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão sobre coordenadas polares! O enunciado pede para encontrar três outros conjuntos de coordenadas polares para os pontos $ P_{3} $ e $ P_{4} $. Coordenas polares são uma maneira de representar pontos no plano usando um raio $ r $ e um ângulo $ \theta $. Para isso, vamos precisar entender como podemos ajustar $ r $ e $ \theta $ mantendo o mesmo ponto no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como funcionam as coordenadas polares. Um ponto no plano é representado por $ (r, \theta) $, onde:
- $ r $ é a distância do ponto até a origem (0,0).
- $ \theta $ é o ângulo medido a partir do eixo positivo $ x $.
Importante: Podemos adicionar ou subtrair múltiplos de $ 2\pi $ (ou $ 360^\circ $) ao ângulo $ \theta $ sem mudar a posição do ponto, e também podemos inverter o sinal de $ r $ e ajustar $ \theta $ em $ \pi $ radianos (ou $ 180^\circ $).
Passo 3
Vamos começar com o ponto $ P_{3} \left( -1, -\frac{\pi}{3} \right) $.
Como o raio $ r $ é negativo, podemos torná-lo positivo e ajustar o ângulo:
-
Tornar $ r $ positivo:
- $ r = -1 $ torna-se $ r = 1 $.
- $ \theta = -\frac{\pi}{3} $ é ajustado adicionando $ \pi $:
- Novo conjunto: $ (1, \frac{2\pi}{3}) $
-
Adicionar $ 2\pi $ ao ângulo original:
- $ \theta = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3} $
- Como $ r $ era negativo, ajustamos:
- Novo conjunto: $ (1, \frac{5\pi}{3}) $
-
Subtrair $ 2\pi $ do ângulo original:
- $ \theta = -\frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{7\pi}{3} $
- Ajustando o $ r $:
- Novo conjunto: $ (1, -\frac{7\pi}{3}) $
Passo 4
Agora, vamos para o ponto $ P_{4} \left( \sqrt{2}, -315^\circ \right) $.
Primeiro, vamos converter o ângulo de graus para radianos para facilitar os cálculos futuros:
Agora, vamos encontrar três outros conjuntos de coordenadas:
-
Adicionar $ 2\pi $ ao ângulo:
- Novo conjunto: $ \left( \sqrt{2}, \frac{\pi}{4} \right) $ -
Subtrair $ 2\pi $ do ângulo:
- Novo conjunto: $ \left( \sqrt{2}, -\frac{15\pi}{4} \right) $ -
Acrescentar $ 2\pi $ mais uma rotação:
- Novo conjunto: $ \left( \sqrt{2}, \frac{9\pi}{4} \right) $
Resposta
Para o ponto $ P_{3} \left( -1, -\frac{\pi}{3} \right) $:
- $ \left( 1, \frac{2\pi}{3} \right) $
- $ \left( 1, \frac{5\pi}{3} \right) $
- $ \left( 1, -\frac{7\pi}{3} \right) $
Para o ponto $ P_{4} \left( \sqrt{2}, -315^\circ \right) $:
- $ \left( \sqrt{2}, \frac{\pi}{4} \right) $
- $ \left( \sqrt{2}, -\frac{15\pi}{4} \right) $
- $ \left( \sqrt{2}, \frac{9\pi}{4} \right) $