Dados os pontos P1(3, 5 pi3), P2(-3,330^circ), P3(-1,-pi3), P4(raiz2,-315^circ), P5(0,53^circ), P6(0, e^pi) e P7(1,3), determine:
(1.2) Três outros conjuntos de coordenadas polares para os pontos P3 e P4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre coordenadas polares! O enunciado pede para encontrar três outros conjuntos de coordenadas polares para os pontos $ P_{3} $ e $ P_{4} $. Coordenas polares são uma maneira de representar pontos no plano usando um raio $ r $ e um ângulo $ \theta $. Para isso, vamos precisar entender como podemos ajustar $ r $ e $ \theta $ mantendo o mesmo ponto no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como funcionam as coordenadas polares. Um ponto no plano é representado por $ (r, \theta) $, onde:
  • $ r $ é a distância do ponto até a origem (0,0).
  • $ \theta $ é o ângulo medido a partir do eixo positivo $ x $.
Importante: Podemos adicionar ou subtrair múltiplos de $ 2\pi $ (ou $ 360^\circ $) ao ângulo $ \theta $ sem mudar a posição do ponto, e também podemos inverter o sinal de $ r $ e ajustar $ \theta $ em $ \pi $ radianos (ou $ 180^\circ $).

Passo 3

Vamos começar com o ponto $ P_{3} \left( -1, -\frac{\pi}{3} \right) $.
Como o raio $ r $ é negativo, podemos torná-lo positivo e ajustar o ângulo:
  1. Tornar $ r $ positivo:
    • $ r = -1 $ torna-se $ r = 1 $.
    • $ \theta = -\frac{\pi}{3} $ é ajustado adicionando $ \pi $: P3 ( -1, -pi3 )
      - Novo conjunto: $ (1, \frac{2\pi}{3}) $
  2. Adicionar $ 2\pi $ ao ângulo original:
    • $ \theta = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3} $
    • Como $ r $ era negativo, ajustamos: r r
      - Novo conjunto: $ (1, \frac{5\pi}{3}) $
  3. Subtrair $ 2\pi $ do ângulo original:
    • $ \theta = -\frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{7\pi}{3} $
    • Ajustando o $ r $: r = -1 r = 1
      - Novo conjunto: $ (1, -\frac{7\pi}{3}) $

Passo 4

Agora, vamos para o ponto $ P_{4} \left( \sqrt{2}, -315^\circ \right) $.
Primeiro, vamos converter o ângulo de graus para radianos para facilitar os cálculos futuros:
P4 ( raiz2, -315^circ )
Agora, vamos encontrar três outros conjuntos de coordenadas:
  1. Adicionar $ 2\pi $ ao ângulo:
    -315^circ = -315 times pi180 = -7pi4 , rad
    - Novo conjunto: $ \left( \sqrt{2}, \frac{\pi}{4} \right) $
  2. Subtrair $ 2\pi $ do ângulo:
    2pi
    - Novo conjunto: $ \left( \sqrt{2}, -\frac{15\pi}{4} \right) $
  3. Acrescentar $ 2\pi $ mais uma rotação:
    theta = -7pi4 + 2pi = pi4
    - Novo conjunto: $ \left( \sqrt{2}, \frac{9\pi}{4} \right) $

Resposta

Para o ponto $ P_{3} \left( -1, -\frac{\pi}{3} \right) $:
  1. $ \left( 1, \frac{2\pi}{3} \right) $
  2. $ \left( 1, \frac{5\pi}{3} \right) $
  3. $ \left( 1, -\frac{7\pi}{3} \right) $
Para o ponto $ P_{4} \left( \sqrt{2}, -315^\circ \right) $:
  1. $ \left( \sqrt{2}, \frac{\pi}{4} \right) $
  2. $ \left( \sqrt{2}, -\frac{15\pi}{4} \right) $
  3. $ \left( \sqrt{2}, \frac{9\pi}{4} \right) $

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