Dados os pontos P1(3, 5 pi3), P2(-3,330^circ), P3(-1,-pi3), P4(raiz2,-315^circ), P5(0,53^circ), P6(0, e^pi) e P7(1,3), determine:
(1.5) Um conjunto de coordenadas polares (r, theta) do ponto P3, tal que r>0 e theta in(-7 pi,-5 pi).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar um conjunto de coordenadas polares (r, theta) para o ponto P3, onde r > 0 e o ângulo theta está no intervalo (-7pi, -5pi). Isso envolve entender coordenadas polares e como ajustar o ângulo para ficar dentro do intervalo indicado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que nas coordenadas polares, um ponto é representado por (r, theta), onde r é a distância do ponto até a origem e theta é o ângulo em relação ao eixo positivo x. Aqui, o ponto P3 está dado por (-1, -pi3). Note que r é negativo, mas precisamos que r > 0.

Passo 3

Quando r é negativo em coordenadas polares, podemos transformar isso em um r positivo ajustando o ângulo theta em pi radianos. Então:
(-1, -pi3) = (1, -pi3 + pi) = (1, 2pi3)
Agora temos r = 1 e theta = 2pi3.

Passo 4

Mas a questão pede que o ângulo theta esteja no intervalo (-7pi, -5pi). Como a função ângulo é periódica com período 2pi, podemos adicionar ou subtrair múltiplos de 2pi para encontrar um ângulo equivalente dentro desse intervalo.
Vamos subtrair 6pi de 2pi3:
theta = 2pi3 - 6pi = 2pi3 - 18pi3 = -16pi3

Passo 5

Agora, verificamos se -16pi3 está dentro do intervalo (-7pi, -5pi):
-7pi = -21pi3 e -5pi = -15pi3
Como -21pi3 < -16pi3 < -15pi3, o ângulo -16pi3 está dentro do intervalo desejado.

Resposta

Uma das coordenadas polares de P3 que satisfaz r > 0 e theta in (-7pi, -5pi) é (1, -16pi3).

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