Dados os pontos a seguir, encontre a equação da reta por cada par de pontos e ache o ângulo que cada uma faz com o eixo y.
(a) (1,1) e (2,2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta que passa pelos pontos (1,1) e (2,2) e descobrir o ângulo que essa reta forma com o eixo y. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como a fórmula da reta e o cálculo de ângulos entre linhas e eixos coordenados.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o coeficiente angular da reta, que indica a inclinação dela. Para isso, usamos a fórmula:
m = y2 - y1x2 - x1
Aqui, (x1, y1) = (1,1) e (x2, y2) = (2,2).

Passo 3

Vamos calcular m:
m = 2 - 12 - 1 = 11 = 1
Então, o coeficiente angular m é igual a 1.

Passo 4

Agora que temos m, podemos escrever a equação da reta no formato:
y = mx + b
Onde b é o coeficiente linear, que representa o ponto onde a reta cruza o eixo y. Para encontrar b, escolhemos um dos pontos dados. Vamos usar (1,1).
Substituímos na equação:
1 = 1 cdot 1 + b 1 = 1 + b b = 0
Então, a equação da reta é:
y = x

Passo 5

Agora, vamos determinar o ângulo que a reta forma com o eixo y. Sabemos que o coeficiente angular m está relacionado ao ângulo theta que a reta forma com o eixo x através da tangente:
m = tan(theta)
Mas queremos o ângulo com o eixo y. Como o eixo y é perpendicular ao eixo x, o ângulo com o eixo y será:
phi = 90^circ - theta
Primeiro, encontramos theta:
tan(theta) = 1 theta = 45^circ
Então,
phi = 90^circ - 45^circ = 45^circ

Resposta

A equação da reta que passa pelos pontos (1,1) e (2,2) é y = x, e o ângulo que essa reta forma com o eixo y é de 45^circ.

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