Suponha conhecidos 4 pontos distintos do plano \left(x_{0}, y_{0}\right),\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right),\left(x_{3}, y_{3}\right). É possível fazer uma interpolação destes pontos por um polinômio de grau 2 ? E de grau 3? E de grau 4? Justifique a sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá quatro pontos distintos \bigl(x_{0},y_{0}\bigr), \bigl(x_{1},y_{1}\bigr), \bigl(x_{2},y_{2}\bigr), \bigl(x_{3},y_{3}\bigr) e pergunta se existe interpolador polinomial de grau 2, 3 ou 4 que passe por eles. O conteúdo aqui é interpolação polinomial e a ideia central é comparar o número de coeficientes (grau +1) com o número de pontos a interpolar.

Passo 2

Considere o espaço \mathcal P_{n} dos polinômios de grau no máximo n. Esse espaço tem dimensão n+1, pois um polinômio genérico é
a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + \cdots + a_{n}x^{n},
totalizando n+1 coeficientes a_{0},\dots,a_{n}.

Passo 3

Para interpolar 4 pontos precisamos resolver um sistema de 4 equações lineares em (n+1) coeficientes.
  • Se n=2, então n+1=3<4. Temos 4 condições mas só 3 coeficientes: em geral o sistema é impossível, salvo caso especial em que todos os pontos caem numa mesma parábola.

Passo 4

Se n=3\), então \(n+1=4\). O sistema é \[\begin{cases} a_{0}+a_{1}x_{0}+a_{2}x_{0}^{2}+a_{3}x_{0}^{3}=y_{0},\\\ a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{1}^{2}+a_{3}x_{1}^{3}=y_{1},\\\ a_{0}+a_{1}x_{2}+a_{2}x_{2}^{2}+a_{3}x_{2}^{3}=y_{2},\\\ a_{0}+a_{1}x_{3}+a_{2}x_{3}^{2}+a_{3}x_{3}^{3}=y_{3}. \end{cases}
A matriz de coeficientes é uma matriz de Vandermonde avaliada em x_{0},\dots,x_{3}\], cujo determinante é não nulo pois os \(x_{i} são distintos. Logo existe e é único o polinômio de grau <=3 que interpola os 4 pontos.

Passo 5

Se n=4, então n+1=5>4. Há 5 coeficientes mas apenas 4 condições, o que gera um sistema subdeterminado com infinitas soluções. Assim existem infinitos polinômios de grau <=4 que passam pelos 4 pontos (basta escolher um grau-4 livremente e ajustar os demais coeficientes).

Resposta

Interpolação por grau 2? Não, em geral não existe (salvo caso degenerado).
Interpolação por grau 3? Sim, existe e é única.
Interpolação por grau 4? Sim, existem infinitas soluções.

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