Suponha conhecidos 4 pontos distintos do plano
. É possível fazer uma interpolação destes pontos por um polinômio de grau 2 ? E de grau 3? E de grau 4? Justifique a sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá quatro pontos distintos
,
,
,
e pergunta se existe interpolador polinomial de grau 2, 3 ou 4 que passe por eles. O conteúdo aqui é interpolação polinomial e a ideia central é comparar o número de coeficientes (grau
) com o número de pontos a interpolar.
Passo 2
Considere o espaço
dos polinômios de grau no máximo
. Esse espaço tem dimensão
, pois um polinômio genérico é
totalizando
coeficientes
.
Passo 3
Para interpolar 4 pontos precisamos resolver um sistema de 4 equações lineares em
coeficientes.
- Se
, então . Temos 4 condições mas só 3 coeficientes: em geral o sistema é impossível, salvo caso especial em que todos os pontos caem numa mesma parábola.
Passo 4
Se
A matriz de coeficientes é uma matriz de Vandermonde avaliada em
são distintos. Logo existe e é único o polinômio de grau
que interpola os 4 pontos.
Passo 5
Se
, então
. Há 5 coeficientes mas apenas 4 condições, o que gera um sistema subdeterminado com infinitas soluções. Assim existem infinitos polinômios de grau
que passam pelos 4 pontos (basta escolher um grau-4 livremente e ajustar os demais coeficientes).
Resposta
Interpolação por grau 2? Não, em geral não existe (salvo caso degenerado).
Interpolação por grau 3? Sim, existe e é única.
Interpolação por grau 4? Sim, existem infinitas soluções.
Interpolação por grau 3? Sim, existe e é única.
Interpolação por grau 4? Sim, existem infinitas soluções.