Seja a função f(x) fornecida na forma tabelar, dada pelos (n+1) pontos \left(x_{0}, y_{0}=f\left(x_{0}\right),\left(x_{1}, y_{1}=f\left(x_{1}\right)\right) \ldots,\left(x_{n}, y_{n}=f\left(x_{n}\right)\right)\right) distintos entre si, conforme a tabela abaixo:
x_{i} x_{0} x_{1} \ldots x_{n}
y_{i}=f\left(x_{i}\right) y_{0} y_{1} \ldots y_{n}
Seja z um ponto distinto dos pontos x_{i}, para i=0, n com z em D= \left[x_{0}, x_{n}\right]. Quer se fazer a fazer a interpolação de f(x) por meio de único polinômio. Descreva duas formas distintas de se obter o polinômio interpolador de f(x), usando os (n+1) pontos e descreva como calcular uma aproximação para a imagem do ponto z (ou seja, uma aproximação para f(z) ), via estes dois caminhos de interpolação polinomial. Considere que f(x) é uma função distinta de um polinômio.

Passo 1

O enunciado dá uma tabela com os n+1 pares \bigl(x_{i},y_{i}=f(x_{i})\bigr), i=0,\dots,n, e pede o polinômio interpolador P_n(x) de grau \le n que coincida com f nesses nós. Em seguida queremos usar P_n para aproximar f(z) num ponto z\in[x_0,x_n], z\neq x_i. O conteúdo é interpolação polinomial, e vamos apresentar dois caminhos: forma de Lagrange e forma de Newton (diferenças divididas).

Passo 2

Forma de Lagrange: Definimos para cada i=0,\dots,n o polinômio base
L_i(x)=\prod_{\substack{j=0\j\neq i}}^{n}\frac{x - x_j}{x_i - x_j}.
Ele satisfaz L_i(x_j)=\delta_{ij}. O interpolador é
P_n(x)=\sum_{i=0}^n y_i\,L_i(x).

Passo 3

Para aproximar f(z) basta calcular
P_n(z)=\sum_{i=0}^n y_i\,L_i(z),
onde cada L_i(z)=\prod_{j\neq i}(z - x_j)/(x_i - x_j). Isso dá diretamente uma aproximação de f(z).

Passo 4

Forma de Newton (diferenças divididas): construímos a tabela de diferenças divididas
f[x_i]=y_i,\quad f[x_i,x_{i+1}]=\frac{f[x_{i+1}]-f[x_i]}{x_{i+1}-x_i},\;\dots,\; f[x_0,\dots,x_n].
Os coeficientes do polinômio são esses valores, e a forma Newton é
P_n(x)=f[x_0]+f[x_0,x_1]\,(x-x_0)+f[x_0,x_1,x_2]\,(x-x_0)(x-x_1)+\cdots.

Passo 5

Para obter P_n(z) usamos o método de Horner generalizado em Newton: definimos recursivamente
b_n=f[x_0,\dots,x_n],\quad b_{k}=f[x_0,\dots,x_k]+(z-x_k)\,b_{k+1},\quad k=n-1,\dots,0,
então P_n(z)=b_0. Isso computa a aproximação de f(z) de modo eficiente.

Resposta

As duas formas são
(a) fórmula de Lagrange com
P_n(x)=\sum_{i=0}^n y_i\prod_{j\neq i}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}
e aproximação f(z)\approx P_n(z).
(b) forma de Newton via diferenças divididas com
P_n(x)=f[x_0]+\sum_{k=1}^n f[x_0,\dots,x_k]\prod_{j=0}^{k-1}(x-x_j)
e avaliação em z por Horner para P_n(z).

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