Seja a função
fornecida na forma tabelar, dada pelos
pontos
distintos entre si, conforme a tabela abaixo:
Seja
um ponto distinto dos pontos
, para
com
em
. Quer se fazer a fazer a interpolação de
por meio de único polinômio. Descreva duas formas distintas de se obter o polinômio interpolador de
, usando os
pontos e descreva como calcular uma aproximação para a imagem do ponto
(ou seja, uma aproximação para
), via estes dois caminhos de interpolação polinomial. Considere que
é uma função distinta de um polinômio.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Passo 1
O enunciado dá uma tabela com os
pares
,
, e pede o polinômio interpolador
de grau
que coincida com
nesses nós. Em seguida queremos usar
para aproximar
num ponto
,
. O conteúdo é interpolação polinomial, e vamos apresentar dois caminhos: forma de Lagrange e forma de Newton (diferenças divididas).
Passo 2
Forma de Lagrange: Definimos para cada
o polinômio base
Ele satisfaz
. O interpolador é
Passo 3
Para aproximar
basta calcular
onde cada
. Isso dá diretamente uma aproximação de
.
Passo 4
Forma de Newton (diferenças divididas): construímos a tabela de diferenças divididas
Os coeficientes do polinômio são esses valores, e a forma Newton é
Passo 5
Para obter
usamos o método de Horner generalizado em Newton: definimos recursivamente
então
. Isso computa a aproximação de
de modo eficiente.
Resposta
As duas formas são
(a) fórmula de Lagrange com
(a) fórmula de Lagrange com
e aproximação
.
(b) forma de Newton via diferenças divididas com
(b) forma de Newton via diferenças divididas com
e avaliação em
por Horner para
.