Dados os pontos B=(1,2,3) e C=(3,-7,-4) e os vetores \vec{u}=(1,1,2) e \vec{v}=(-4,5,-1), obter o vetor \vec{x} tal que (\overrightarrow{B C} \cdot \vec{v}) \cdot \vec{x}=(\vec{u} \cdot \vec{v}) \cdot \vec{v}+2 \cdot \vec{x}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede. Temos os pontos e vetores abaixo:
B=(1,2,3),\quad C=(3,-7,-4),\quad \vec{u}=(1,1,2),\quad \vec{v}=(-4,5,-1).
Ele pede o vetor \vec{x} que satisfaz a equação
(\overrightarrow{BC}\cdot\vec{v})\cdot\vec{x}=(\vec{u}\cdot\vec{v})\cdot\vec{v}+2\cdot\vec{x}.
Informações relevantes listadas:
\begin{aligned} &\text{(i) } \overrightarrow{BC}=C-B, \text{ isto é, subtração de coordenadas;}\\\ &\text{(ii) } \text{o produto interno (dot) } \vec{a}\cdot\vec{b} \text{ é } a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3;\\\ &\text{(iii) } \text{escalar vezes vetor é multiplicação componente a componente.} \end{aligned}éçãééçã

Passo 2

Calcular \overrightarrow{BC} por subtração coordenada a coordenada. A fórmula é \overrightarrow{BC}=C-B, então
\overrightarrow{BC}=(3-1,\,-7-2,\,-4-3)=(2,\,-9,\,-7).
Isto é só subtrair as coordenadas correspondentes de C e B.

Passo 3

Lembrar e aplicar a definição de produto escalar para calcular \overrightarrow{BC}\cdot\vec{v}.
Para \vec{p}=(p_1,p_2,p_3) e \vec{q}=(q_1,q_2,q_3) temos \vec{p}\cdot\vec{q}=p_1q_1+p_2q_2+p_3q_3.
Tendo \overrightarrow{BC}=(2,-9,-7) e \vec{v}=(-4,5,-1), resulta
\overrightarrow{BC}\cdot\vec{v}=2\cdot(-4)+(-9)\cdot5+(-7)\cdot(-1)=-8-45+7=-46.
Portanto \overrightarrow{BC}\cdot\vec{v}=-46. Esse é um escalar.

Passo 4

Calcular o outro produto escalar \vec{u}\cdot\vec{v} com a mesma definição.
Com \vec{u}=(1,1,2) e \vec{v}=(-4,5,-1),
\vec{u}\cdot\vec{v}=1\cdot(-4)+1\cdot5+2\cdot(-1)=-4+5-2=-1.
Então \vec{u}\cdot\vec{v}=-1. Também é um escalar.

Passo 5

Substituir os escalares obtidos na equação original. A equação era
(\overrightarrow{BC}\cdot\vec{v})\cdot\vec{x}=(\vec{u}\cdot\vec{v})\cdot\vec{v}+2\cdot\vec{x}.
Com \overrightarrow{BC}\cdot\vec{v}=-46 e \vec{u}\cdot\vec{v}=-1 obtemos
-46\cdot\vec{x}=(-1)\cdot\vec{v}+2\cdot\vec{x}.
Aqui usei a propriedade de que um escalar multiplicando um vetor é apenas escala sobre o vetor.

Passo 6

Isolar \vec{x}. Reorganizamos a equação para agrupar os termos com \vec{x} no mesmo lado:
-46\vec{x}-2\vec{x}=-\vec{v}.
Somando os coeficientes escalares de \vec{x} no lado esquerdo dá
-48\vec{x}=-\vec{v}.
Agora dividimos ambos os lados por -48 (dividir um vetor por escalar é multiplicar pelo recíproco do escalar):
\vec{x}=\frac{-\vec{v}}{-48}=\frac{\vec{v}}{48}.

Passo 7

Substituir \vec{v}=(-4,5,-1) para escrever \vec{x} em coordenadas:
\vec{x}=\frac{1}{48}(-4,5,-1)=\left(-\frac{4}{48},\;\frac{5}{48},\;-\frac{1}{48}\right).
Simplificando frações quando possível,
\vec{x}=\left(-\frac{1}{12},\;\frac{5}{48},\;-\frac{1}{48}\right).
Se quiser, é fácil checar substituindo esse \vec{x} de volta na equação original; os passos algébricos que fiz garantem que a igualdade vale.

Resposta

\vec{x}=\left(-\dfrac{1}{12},\dfrac{5}{48},-\dfrac{1}{48}\right)

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