Questão 4: (2 pontos) Determine se o seguinte conjunto
W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x+y=0\right\},
é um subespaço vetorial de
\mathbb{R}^{3}, se for qual, é sua dimensão.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se o conjunto
W=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}: x+y=0\right\}
é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{3} e, se for, qual é a sua dimensão.\n
Informações dadas: \n
- O universo é \mathbb{R}^{3}. \n
- O conjunto W é formado por vetores (x,y,z) em \mathbb{R}^{3} que satisfazem a condição \,x+y=0.\n

Passo 2

Definição prática que vamos usar (explico bem devagar): um subconjunto S\subseteq\mathbb{R}^{3} é subespaço vetorial se e somente se satisfaz três propriedades equivalentes e fáceis de verificar: \n
  1. contém o vetor zero; \n
  2. é fechado sob adição: se u\in S e v\in S então u+v\in S; \n
  3. é fechado sob multiplicação por escalar: se u\in S e c\in\mathbb{R} então c\,u\in S.\n
    Aqui u=(x_{1},y_{1},z_{1}), v=(x_{2},y_{2},z_{2}) são vetores quaisquer de \mathbb{R}^{3} e c é um número real qualquer. Essas três condições garantem que S é um espaço vetorial por si só (com as mesmas operações de \mathbb{R}^{3}).\n

Passo 3

Verifico se o vetor zero está em W. \n
O vetor zero em \mathbb{R}^{3} é (0,0,0). Substituindo na condição de W temos \,0+0=0, que é verdade. \n
Portanto (0,0,0)\in W. Isso mostra que W não está vazio e contém o vetor zero — boa notícia, é um requisito necessário para ser subespaço.\n

Passo 4

Verifico fechamento por adição. \n
Sejam u=(x_{1},y_{1},z_{1})\in W e v=(x_{2},y_{2},z_{2})\in W. Pela definição de W temos \,x_{1}+y_{1}=0 e \,x_{2}+y_{2}=0.\n
O vetor soma é
u+v=(x_{1}+x_{2},\,y_{1}+y_{2},\,z_{1}+z_{2}).
Agora verifico a condição para u+v pertencer a W: \n
(x_{1}+x_{2})+(y_{1}+y_{2})=(x_{1}+y_{1})+(x_{2}+y_{2})=0+0=0. \n
Logo u+v satisfaz a equação x+y=0, ou seja u+v\in W. Conclusão: W é fechado sob adição.\n

Passo 5

Verifico fechamento por multiplicação por escalar. \n
Tome u=(x_{1},y_{1},z_{1})\in W com \,x_{1}+y_{1}=0 e um escalar c\in\mathbb{R}. O produto é
c\,u=(c x_{1},\,c y_{1},\,c z_{1}).
Verifico a condição:
(c x_{1})+(c y_{1})=c(x_{1}+y_{1})=c\cdot 0=0.
Portanto c\,u\in W. Conclusão: W é fechado sob multiplicação por escalar.\n

Passo 6

Como W contém o vetor zero e é fechado sob adição e multiplicação por escalares, concluímos que W é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{3}.\n
Agora vou encontrar a dimensão de W. Para isso é útil parametrizar os vetores de W.\n
A condição x+y=0 implica y=-x. Então um vetor arbitrário de W tem a forma
(x,y,z)=(x,-x,z).
Posso escrever isso como combinação linear dos vetores (1,-1,0) e (0,0,1):
(x,-x,z)=x(1,-1,0)+z(0,0,1).
Aqui x e z são parâmetros reais livres (podem ser qualquer número real), logo todo vetor de W é combinação linear desses dois vetores.\n

Passo 7

Mostro que os vetores (1,-1,0) e (0,0,1) são linearmente independentes, portanto formam uma base de W.\n
Se existirem a,b\in\mathbb{R} tais que
a(1,-1,0)+b(0,0,1)=(0,0,0),
isto é
(a,\,-a,\,b)=(0,0,0),
então comparando coordenadas obtemos a=0, -a=0\Rightarrow a=0 (mesma informação) e b=0. Assim a=b=0, o que prova a independência linear.\n
Como temos dois vetores independentes que geram W, eles são uma base de W e o número de vetores da base (a dimensão) é 2.\n

Resposta

Sim — W é subespaço vetorial de \mathbb{R}^{3}.\n
\dim(W)=2.

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