Questão 4: (2 pontos) Determine se o seguinte conjunto
é um subespaço vetorial de
, se for qual, é sua dimensão.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se o conjunto
é um subespaço vetorial de
e, se for, qual é a sua dimensão.\n
Informações dadas: \n
O universo é
. \n
O conjunto
é formado por vetores
em
que satisfazem a condição
.\n
Informações dadas: \n
Passo 2
Definição prática que vamos usar (explico bem devagar): um subconjunto
é subespaço vetorial se e somente se satisfaz três propriedades equivalentes e fáceis de verificar: \n
- contém o vetor zero; \n
- é fechado sob adição: se
e então ; \n - é fechado sob multiplicação por escalar: se
e então .\n
Aqui, são vetores quaisquer de e é um número real qualquer. Essas três condições garantem que é um espaço vetorial por si só (com as mesmas operações de ).\n
Passo 3
Verifico se o vetor zero está em
. \n
O vetor zero em é
. Substituindo na condição de
temos
, que é verdade. \n
Portanto . Isso mostra que
não está vazio e contém o vetor zero — boa notícia, é um requisito necessário para ser subespaço.\n
O vetor zero em
Portanto
Passo 4
Verifico fechamento por adição. \n
Sejam e
. Pela definição de
temos
e
.\n
O vetor soma é
Sejam
O vetor soma é
Agora verifico a condição para
pertencer a
: \n
\n
Logo satisfaz a equação
, ou seja
. Conclusão:
é fechado sob adição.\n
Logo
Passo 5
Verifico fechamento por multiplicação por escalar. \n
Tome com
e um escalar
. O produto é
Tome
Verifico a condição:
Portanto
. Conclusão:
é fechado sob multiplicação por escalar.\n
Passo 6
Como
contém o vetor zero e é fechado sob adição e multiplicação por escalares, concluímos que
é um subespaço vetorial de
.\n
Agora vou encontrar a dimensão de . Para isso é útil parametrizar os vetores de
.\n
A condição implica
. Então um vetor arbitrário de
tem a forma
Agora vou encontrar a dimensão de
A condição
Posso escrever isso como combinação linear dos vetores
e
:
Aqui
e
são parâmetros reais livres (podem ser qualquer número real), logo todo vetor de
é combinação linear desses dois vetores.\n
Passo 7
Mostro que os vetores
e
são linearmente independentes, portanto formam uma base de
.\n
Se existirem tais que
Se existirem
isto é
então comparando coordenadas obtemos
,
(mesma informação) e
. Assim
, o que prova a independência linear.\n
Como temos dois vetores independentes que geram , eles são uma base de
e o número de vetores da base (a dimensão) é
.\n
Como temos dois vetores independentes que geram
Resposta
Sim —
é subespaço vetorial de
.\n
.