Para cada uma das seguintes matrizes símétricas A, encontrar uma matriz ortogonal P, para a qual P^{t} A P seja diagonal:
A=\left[\begin{array}{ll}2 & 2 \\\\ 2 & 5\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz simétrica
A=\begin{pmatrix}2 & 2 \\[4pt] 2 & 5\end{pmatrix}
e pede para encontrar uma matriz ortogonal P tal que P^{t} A P seja diagonal.
Informações relevantes: os elementos da matriz A são a_{11}=2, a_{12}=a_{21}=2 e a_{22}=5. A tarefa é apresentar uma matriz P ortogonal (colunas ortonormais) cujas colunas sejam vetores próprios de A, de modo que a conjugação P^{t} A P resulte numa matriz diagonal contendo os autovalores de A.]

Passo 2

Primeiro precisamos calcular os autovalores (eigenvalues) de A. Eles são as raízes do polinômio característico definido por
\det(A-\lambda I)=0.
Expliquei: aqui I é a matriz identidade 2\times2 e \lambda é o escalar incógnita. Calculamos \det(A-\lambda I) explicitamente.

Passo 3

Calcule o determinante:
A-\lambda I=\begin{pmatrix}2-\lambda & 2 \\[4pt] 2 & 5-\lambda\end{pmatrix}
e
\det(A-\lambda I)=(2-\lambda)(5-\lambda)-2\cdot 2.
Agora desenvolvendo:
(2-\lambda)(5-\lambda)=10-7\lambda+\lambda^{2},
então
\det(A-\lambda I)=10-7\lambda+\lambda^{2}-4=\lambda^{2}-7\lambda+6.
Logo o polinômio característico é \lambda^{2}-7\lambda+6.]

Passo 4

Encontre as raízes do polinômio \lambda^{2}-7\lambda+6=0. Para resolver uma equação quadrática \lambda^{2}+b\lambda+c=0 você pode fatorar quando for possível. Aqui fatoramos:
\lambda^{2}-7\lambda+6=(\lambda-1)(\lambda-6).
Portanto os autovalores são
\lambda_{1}=1,\qquad \lambda_{2}=6.

Passo 5

Agora achamos vetores próprios associados a cada autovalor. Para um autovalor \lambda resolvemos (A-\lambda I)v=0.
Para \lambda_{1}=1:
A-I=\begin{pmatrix}2-1 & 2 \\[4pt] 2 & 5-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 2 & 4\end{pmatrix}.
Resolvendo \begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 2 & 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt] 0\end{pmatrix} dá a equação x+2y=0. Assim x=-2y. Tomando y=1 obtemos um vetor próprio conveniente
v_{1}=\begin{pmatrix}-2\\[4pt] 1\end{pmatrix}.
Para \lambda_{2}=6:
A-6I=\begin{pmatrix}2-6 & 2 \\[4pt] 2 & 5-6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4 & 2 \\[4pt] 2 & -1\end{pmatrix}.
Resolvendo \begin{pmatrix}-4 & 2 \\[4pt] 2 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt] 0\end{pmatrix} dá a equação -4x+2y=0, logo y=2x. Tomando x=1 obtemos
v_{2}=\begin{pmatrix}1\\[4pt] 2\end{pmatrix}.
Observação didática: perceba que v_{1}\cdot v_{2}=(-2)\cdot 1 + 1\cdot 2=0, ou seja, os dois vetores próprios que escolhemos já são ortogonais — isso acontece sempre para matrizes simétricas (os autovetores correspondentes a autovalores distintos são ortogonais). Não vou usar formalmente o teorema aqui, mas é bom guardar essa propriedade.]

Passo 6

Precisamos de colunas ortonormais para montar P. Normalizamos v_{1} e v_{2} dividindo-os pelo seu comprimento (norma). A norma de um vetor (a,b) é \sqrt{a^{2}+b^{2}}.
Cálculo das normas:
\|v_{1}\|=\sqrt{(-2)^{2}+1^{2}}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5},
\|v_{2}\|=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}.
Portanto os vetores unitários (ortonormais) são
u_{1}=\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}-2\\[4pt] 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\dfrac{2}{\sqrt{5}}\\[8pt] \dfrac{1}{\sqrt{5}}\end{pmatrix}, \qquad u_{2}=\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}1\\[4pt] 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{\sqrt{5}}\\[8pt] \dfrac{2}{\sqrt{5}}\end{pmatrix}.
Esses vetores são ortonormais: u_{i}\cdot u_{j}=0 se i\neq j e 1 se i=j.]

Passo 7

Formamos a matriz ortogonal P colocando u_{1} e u_{2} como colunas:
P=\begin{pmatrix} -\dfrac{2}{\sqrt{5}} & \dfrac{1}{\sqrt{5}} \\[8pt] \dfrac{1}{\sqrt{5}} & \dfrac{2}{\sqrt{5}} \end{pmatrix}.
Por construção P^{t}P=I, então P é ortogonal. Agora, por propriedades de autovetores e autovalores, temos que A u_{1}=\lambda_{1} u_{1} e A u_{2}=\lambda_{2} u_{2}. Daí as entradas da matriz P^{t}AP na diagonal são \lambda_{1} e \lambda_{2}, e as off-diagonais são zero porque os vetores são ortogonais. Formalmente,
(P^{t} A P)_{ij}=u_{i}^{t} A u_{j} = \begin{cases} \lambda_{i}, & i=j, \\[4pt] 0, & i\neq j. \end{cases}
Substituindo os autovalores obtidos:
P^{t} A P=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 6\end{pmatrix}.]

Resposta

P=\begin{pmatrix} -\dfrac{2}{\sqrt{5}} & \dfrac{1}{\sqrt{5}} \\[8pt] \dfrac{1}{\sqrt{5}} & \dfrac{2}{\sqrt{5}} \end{pmatrix}
P^{t} A P=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 6\end{pmatrix}]

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