Questão 5: (2 pontos) Considere as bases de \mathbb{R}^{2} : base canônica \mathcal{B}=\left\{e_{1}=(1,0), e_{2}=\right. (0,1)\} e outra base \mathcal{B}_{1}=\{u=(-1,1), v=(1,1)\}. Calcular
O enunciado dá duas bases de \mathbb{R}^2: a base canônica \mathcal{B}=\{e_{1}=(1,0),\\ e_{2}=(0,1)\} e a outra base \mathcal{B}_{1}=\{u=(-1,1),\\ v=(1,1)\}.
Pede para calcular o produto
Informações relevantes dadas: as coordenadas de u e v na base canônica são (-1,1) e (1,1), respetivamente. Não há outras informações ocultas.
Passo 2
Vou explicar o que significam essas matrizes e como calculá‑las (passo a passo):
A matriz [I]_{\mathcal{B}_{1}}^{\mathcal{B}} transforma coordenadas de um vetor escritas na base \mathcal{B}_{1} para coordenadas na base \mathcal{B}. Como \mathcal{B} é a base canônica, essa matriz é simplesmente a matriz cujas colunas são as coordenadas de u e v na base canônica. Ou seja, escrevemos u e v como colunas.
A matriz [I]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}_{1}} faz a transformação inversa: pega coordenadas na base \mathcal{B} (canônica) e retorna coordenadas na base \mathcal{B}_{1}. Portanto, é a inversa da matriz anterior.
Logo, se chamarmos
S=[I]_{\mathcal{B}_{1}}^{\mathcal{B}},
então
[I]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}_{1}}=S^{-1},
e o produto pedido é S^{-1}S, que normalmente deve dar a matriz identidade. Vou calcular explicitamente para ficar cristalino.
Passo 3
Montar a matriz S=[I]_{\mathcal{B}_{1}}^{\mathcal{B}} colocando u e v como colunas (peguei esses vetores do enunciado):
Calcular a inversa S^{-1} usando a fórmula da inversa de uma 2\times2:
para uma matriz \begin{pmatrix}a&b\\\ c&d\end{pmatrix} temos inversa \dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\\\ -c&a\end{pmatrix}.
Aqui a=-1, b=1, c=1, d=1. O determinante é
a matriz identidade 2\times2, como era de se esperar: transformar coordenadas de \mathcal{B} para \mathcal{B}_{1} e voltar retorna exatamente as mesmas coordenadas.]