Questão 5: (2 pontos) Considere as bases de \mathbb{R}^{2} : base canônica \mathcal{B}=\left\{e_{1}=(1,0), e_{2}=\right. (0,1)\} e outra base \mathcal{B}_{1}=\{u=(-1,1), v=(1,1)\}. Calcular
[I]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}_{1}} \cdot[I]_{\mathcal{B}_{1}}^{\mathcal{B}} .

Passo 1

O enunciado dá duas bases de \mathbb{R}^2: a base canônica \mathcal{B}=\{e_{1}=(1,0),\\ e_{2}=(0,1)\} e a outra base \mathcal{B}_{1}=\{u=(-1,1),\\ v=(1,1)\}.
Pede para calcular o produto
[I]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}_{1}}\cdot [I]_{\mathcal{B}_{1}}^{\mathcal{B}}.
Informações relevantes dadas: as coordenadas de u e v na base canônica são (-1,1) e (1,1), respetivamente. Não há outras informações ocultas.

Passo 2

Vou explicar o que significam essas matrizes e como calculá‑las (passo a passo):
  • A matriz [I]_{\mathcal{B}_{1}}^{\mathcal{B}} transforma coordenadas de um vetor escritas na base \mathcal{B}_{1} para coordenadas na base \mathcal{B}. Como \mathcal{B} é a base canônica, essa matriz é simplesmente a matriz cujas colunas são as coordenadas de u e v na base canônica. Ou seja, escrevemos u e v como colunas.
  • A matriz [I]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}_{1}} faz a transformação inversa: pega coordenadas na base \mathcal{B} (canônica) e retorna coordenadas na base \mathcal{B}_{1}. Portanto, é a inversa da matriz anterior.
    Logo, se chamarmos
S=[I]_{\mathcal{B}_{1}}^{\mathcal{B}},
então
[I]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}_{1}}=S^{-1},
e o produto pedido é S^{-1}S, que normalmente deve dar a matriz identidade. Vou calcular explicitamente para ficar cristalino.

Passo 3

Montar a matriz S=[I]_{\mathcal{B}_{1}}^{\mathcal{B}} colocando u e v como colunas (peguei esses vetores do enunciado):
S=\begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular a inversa S^{-1} usando a fórmula da inversa de uma 2\times2:
para uma matriz \begin{pmatrix}a&b\\\ c&d\end{pmatrix} temos inversa \dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\\\ -c&a\end{pmatrix}.
Aqui a=-1, b=1, c=1, d=1. O determinante é
\det(S)=(-1)\cdot 1 - 1\cdot 1 = -2.
Aplicando a fórmula,
S^{-1}=\frac{1}{-2}\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt] -1 & -1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\\[4pt] \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.
Portanto [I]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}_{1}}=S^{-1}.]

Passo 5

Multiplicar explicitamente S^{-1}S para ver o resultado (faço as contas para você poder reproduzir na prova sem calculadora):
S^{-1}S= \begin{pmatrix}-\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\\[4pt] \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}.
Calcule elemento a elemento:
  • Entrée (1,1): (-\tfrac{1}{2})(-1)+(\tfrac{1}{2})(1)=\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}=1.
  • Entrée (1,2): (-\tfrac{1}{2})(1)+(\tfrac{1}{2})(1)=-\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}=0.
  • Entrée (2,1): (\tfrac{1}{2})(-1)+(\tfrac{1}{2})(1)=-\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}=0.
  • Entrée (2,2): (\tfrac{1}{2})(1)+(\tfrac{1}{2})(1)=\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}=1.
Assim
S^{-1}S=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix},
a matriz identidade 2\times2, como era de se esperar: transformar coordenadas de \mathcal{B} para \mathcal{B}_{1} e voltar retorna exatamente as mesmas coordenadas.]

Resposta

\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}]

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