Dados os potenciais de Liénard-Wiechert
V(r, t) & =14 pi epsilon0 q c[|r-w(tr)| c-(r-w(tr)) cdot v], A(r, t) & =vc^2 V(r, t),
encontre os potenciais de uma carga puntual se movendo a velocidade constante, de maneira que w(t)=v t. Problema retirado de Griffiths, página 433, exemplo 10.3. Universidade Federal de Santa Maria
Departamento de Física
Professor Lucio Strazzabosco Dorneles
Eletromagnetismo II, FSC1141, turma 123
Lista 6

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente pegar as expressões gerais dos potenciais de Liénard–Wiechert
V(vec r,t)=14piepsilon0,q,cl|vec r-vec w(tr)r|c-(vec r-vec w(tr))cdotvec v,, vec A(vec r,t)=vec vc^2,V(vec r,t)
e especializar pro caso em que a carga anda em reta com velocidade constante, ou seja vec w(t)=vec v,t.
Matéria: potenciais retarded em Eletromagnetismo II. Vamos precisar lembrar do tempo retardado tr, definir
vec R=vec r-vec w(tr) e simplificar aquele denominador usando beta=v/c e geometria.

Passo 2

Primeiro, o tempo retardado tr satisfaz
|vec r-vec w(tr)|=c,(t-tr)
e a gente define
vec R=vec r-vec w(tr)=vec r-vec v,tr,, Requiv|vec R|,,beta=vc,
Assim o denominador nos potenciais é
D=R,c-vec Rcdotvec v =R,l(c-vec vcdothat Rr) =R,cl(1-betacosthetar),,
onde hat R=vec R/R e costheta=hat Rcdothat v. Logo substituindo em V e em vec A,
V(vec r,t) =14piepsilon0,q,cR,c,(1-betacostheta) =q4piepsilon0,1R,(1-betacostheta),, vec A=vec vc^2,V

Passo 3

O truque agora é reescrever R,(1-betacostheta) só em função de vec r e t. Definimos
vec s=vec r-vec v,t
e decompomos em paralelo e perpendicular a vec v:
sparal<=l=(vec scdothat v),hat v, vec sperp=vec s-sparal<=l
Mostra-se (com um pouquinho de álgebra vetorial) que
l[R,(1-betacostheta)r]^2 =sparal<=l^2+(1-beta^2),sperp^2
e portanto
R,(1-betacostheta) =raizsparal<=l^2+(1-beta^2),sperp^2,

Passo 4

Pra simplificar ainda mais, basta escolher o eixo x na direção de vec v. Então
vec v=v,hat x, vec s=(x-vt),hat x+y,hat y+z,hat z
sparal<=l=x-vt, sperp^2=y^2+z^2
e daí
R,(1-betacostheta) =raiz(x-vt)^2+(1-beta^2)(y^2+z^2),

Resposta

Os potenciais finais para a carga com vec w(t)=vec v,t são
boxed V(vec r,t) =q4piepsilon0, 1raiz(x-vt)^2+(1-tfracv^2c^2)(y^2+z^2),, vec A(vec r,t)=vec vc^2;V(vec r,t),

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