Usando o calibre de Lorentz
mostre que
e
para os potenciais retardados
onde
tr=t-|r-r^prime|c
Passo 1
O que a questão pede?
– Mostrar que, impondo o calibre de Lorentz
– Mostrar que, impondo o calibre de Lorentz
os potenciais escalar
V e vetor
A satisfazem as equações de onda inhomogêneas
e, em seguida, verificar que as soluções retardadas
com
tr=t-tfrac| r- r'|c , de fato satisfazem
square^2V=-rho/epsilon0 e
square^2 A=-mu0 J .
Conteúdo-chave:
- Maxwell em termos de
.V, A - Condição de Lorentz e decoplamento.
- Operador de onda (D’Alembertiano)
.square^2equivnabla^2-1c^2partial^2partial t^2 - Função de Green retarded e identidade
.l[nabla^2-tfrac1c^2partialt^2r]f(t-R/c)R =-4pi,f(t),de<a^3( r- r') - Propriedade
.nabla^21R=-4pi,de<a^3( r- r')
Passo 2
Derivando as equações de onda sob calibre de Lorentz
- Em geral temos
eE=-nabla V-partialt A .B=nablatimes A - As duas Maxwell não homogêneas são
nablacdot E=rho/epsilon0
e
.nablatimes B-mu0epsilon0,partialt E=mu0 J - Substitui em
:nablacdot E
Usando
nablacdot A=-mu0epsilon0,partialtV , vira
- Substitui em
:nablatimes B
.nablatimes(nablatimes A)=nabla(nablacdot A)-nabla^2 A
Dá
Usando de novo
nablacdot A=-mu0epsilon0,partialtV e arrumando, obtém
Logo, no calibre de Lorentz
Passo 3
Por que as soluções retardadas dadas são corretas?
- A equação de onda inhomogênea
square^2Phi( r,t)=S( r,t)
tem como “função de Green retarded”
que satisfaz
square^2Grm ret=-,de<a^3( r- r'),de<a(t-t') .
2) A solução é
Phi( r,t)=integral d^3r',dt';Grm ret( r,t; r',t');S( r',t') .
3) No nosso caso:
2) A solução é
3) No nosso caso:
- Para
,V .S=rho/epsilon0 - Para
,A .S=mu0 J
- Integrando em
com a deltat' dá exatamentede<a(t-t'-R/c) t'=t-R/c=tr
e surge o .1/4pi R
Passo 4
Aplicando
square^2 em
V diretamente:
A ideia-piloto é usar (i) troca integral × derivada e (ii) a identidade geral
– Fora de
r= r' as derivadas espaciais e temporais “se cancelam” pela regra da cadeia,
– No ponto singular r= r' sobra
nabla^2(1/R)=-4pide<a^3( r- r') .
Logo
– No ponto singular
Logo
Passo 5
Exatamente o mesmo raciocínio vale para
A :
Resposta
Os potenciais retardados
satisfazem, no calibre de Lorentz, as equações de onda inhomogêneas