Usando o calibre de Lorentz
nabla cdot A=-muo epsilon0 partial Vpartial t,
mostre que
square^2 V=-1epsilon0 rho,
e
square^2 A=-mu0 J
para os potenciais retardados
V(r, t) & =14 pi epsilon0 integral rho(r^prime, tr)|r-r^prime| d v^prime, A(r, t) & =mu04 pi integral J(r^prime, tr)|r-r^prime| d v^prime,
onde
tr=t-|r-r^prime|c

Passo 1

O que a questão pede?
– Mostrar que, impondo o calibre de Lorentz
nablacdot A ;=;-,mu0epsilon0,partial Vpartial t,
os potenciais escalar V e vetor A satisfazem as equações de onda inhomogêneas
square^2 V = -1epsilon0,rho e square^2 A = -mu0, J,
e, em seguida, verificar que as soluções retardadas
V( r,t)=14piepsilon0integral!rho( r',,tr)| r- r'|,d^3r', A( r,t)=mu04piintegral! J( r',,tr)| r- r'|,d^3r',
com tr=t-tfrac| r- r'|c, de fato satisfazem
square^2V=-rho/epsilon0 e square^2 A=-mu0 J.
Conteúdo-chave:
  1. Maxwell em termos de V, A.
  2. Condição de Lorentz e decoplamento.
  3. Operador de onda (D’Alembertiano)
    square^2equivnabla^2-1c^2partial^2partial t^2.
  4. Função de Green retarded e identidade
    l[nabla^2-tfrac1c^2partialt^2r]f(t-R/c)R =-4pi,f(t),de<a^3( r- r').
  5. Propriedade
    nabla^21R=-4pi,de<a^3( r- r').

Passo 2

Derivando as equações de onda sob calibre de Lorentz
  1. Em geral temos
    E=-nabla V-partialt A e B=nablatimes A.
  2. As duas Maxwell não homogêneas são
    nablacdot E=rho/epsilon0
    e
    nablatimes B-mu0epsilon0,partialt E=mu0 J.
  3. Substitui em nablacdot E:
nablacdot(-nabla V-partialt A) = -nabla^2V-partialt(nablacdot A) =rhoepsilon0
Usando nablacdot A=-mu0epsilon0,partialtV, vira
-nabla^2V +mu0epsilon0,partialt^2V =rhoepsilon0 ;Longrightarrow; l[nabla^2-tfrac1c^2partialt^2r]V = -rhoepsilon0
  1. Substitui em nablatimes B:
    nablatimes(nablatimes A)=nabla(nablacdot A)-nabla^2 A.
-nabla^2 A -mu0epsilon0,nabla(partialtV) =mu0 J -mu0epsilon0,partialt(-nabla V-partialt A)
Usando de novo nablacdot A=-mu0epsilon0,partialtV e arrumando, obtém
l[nabla^2-tfrac1c^2partialt^2r] A = -mu0, J
Logo, no calibre de Lorentz
square^2 V=-rhoepsilon0, square^2 A=-mu0, J

Passo 3

Por que as soluções retardadas dadas são corretas?
  1. A equação de onda inhomogênea
    square^2Phi( r,t)=S( r,t)
    tem como “função de Green retarded”
Grm ret( r,t; r',t') =de<al(t-t'-| r- r'|cr)4pi,| r- r'|,
que satisfaz
square^2Grm ret=-,de<a^3( r- r'),de<a(t-t').
2) A solução é
Phi( r,t)=integral d^3r',dt';Grm ret( r,t; r',t');S( r',t') .
3) No nosso caso:
  • Para V, S=rho/epsilon0.
  • Para A, S=mu0 J.
  1. Integrando em t' com a delta de<a(t-t'-R/c) dá exatamente t'=t-R/c=tr
    e surge o 1/4pi R.

Passo 4

Aplicando square^2 em V diretamente:
V( r,t) =14piepsilon0integral!rho( r',,tr)R,d^3r', Requiv| r- r'|
A ideia-piloto é usar (i) troca integral × derivada e (ii) a identidade geral
l[nabla^2-tfrac1c^2partialt^2r] f(t-R/c)R =-4pi,f(t),de<a^3( r- r')
– Fora de r= r' as derivadas espaciais e temporais “se cancelam” pela regra da cadeia,
– No ponto singular r= r' sobra nabla^2(1/R)=-4pide<a^3( r- r').
Logo
square^2V =14piepsilon0!integral!d^3r',rho( r',t) l[-4pi,de<a^3( r- r')r] =-1epsilon0,rho( r,t)

Passo 5

Exatamente o mesmo raciocínio vale para A:
square^2 A =mu04pi!integral!d^3r', J( r',t) l[-4pi,de<a^3( r- r')r] =-mu0, J( r,t)

Resposta

Os potenciais retardados
V( r,t)=14piepsilon0integral!rho( r',,tr)| r- r'|,d^3r', A( r,t)=mu04piintegral! J( r',,tr)| r- r'|,d^3r',
satisfazem, no calibre de Lorentz, as equações de onda inhomogêneas
square^2V=-1epsilon0,rho, square^2 A=-mu0, J

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