A linha de carga de densidade linear de carga uniforme
se estende ao longo do eixo
de 0 até
. Calcular o campo elétrico no ponto
sobre o eixo
, na distância
da origem. Neste caso, é possível aplicar a aproximação para considerar o fio como uma carga puntiforme ou para se considerar muito próximo do fio? Por quê?
Passo 1
Vamos resolver um problema de Eletrostática envolvendo uma linha de carga. Temos uma linha com densidade linear de carga uniforme
que se estende ao longo do eixo
do ponto 0 até o infinito. Precisamos calcular o campo elétrico no ponto
localizado no eixo
, a uma distância
da origem. Também vamos analisar se podemos aproximar o fio como uma carga puntiforme ou se estamos muito próximos do fio para isso, e por quê.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a situação. Temos uma linha de carga infinita começando na origem e indo para
. O ponto
está no eixo
, a uma distância
da origem.
Passo 3
Para calcular o campo elétrico devido a uma linha de carga, precisamos usar o princípio da superposição, integrando contribuições de pequenos elementos de carga ao longo do fio.
Passo 4
Considere um pequeno elemento de carga
localizado a uma posição
no eixo
. A distância entre esse elemento e o ponto
será
.
Passo 5
O elemento de carga
pode ser expresso em termos da densidade linear de carga:
.
Passo 6
O campo elétrico devido a
no ponto
será:
onde
é o vetor unitário apontando de
para
.
Passo 7
Decompomos
em componentes
e
. Pela simetria, os componentes na direção
se cancelam quando integrados de 0 a
, restando apenas a componente
.
Passo 8
A componente
do campo elétrico devido a
é:
Passo 9
Simplificando a expressão:
Passo 10
Integramos
de
a
para encontrar o campo elétrico total em
:
Passo 11
Fazendo a substituição
,
, chegamos a:
Passo 12
A integral
é igual a 1.
Passo 13
Portanto:
Resposta
O campo elétrico no ponto
é:
Quanto à aproximação, não é possível considerar o fio como uma carga puntiforme, pois a linha de carga é infinita e sua contribuição ao campo não decai como o de uma carga pontual. Além disso, estamos considerando um ponto a uma distância
do fio, não sendo necessário estar muito próximo para essa aproximação específica.