A linha de carga de densidade linear de carga uniforme lambda se estende ao longo do eixo x de 0 até infty. Calcular o campo elétrico no ponto P sobre o eixo y, na distância R da origem. Neste caso, é possível aplicar a aproximação para considerar o fio como uma carga puntiforme ou para se considerar muito próximo do fio? Por quê?

Passo 1

Vamos resolver um problema de Eletrostática envolvendo uma linha de carga. Temos uma linha com densidade linear de carga uniforme lambda que se estende ao longo do eixo x do ponto 0 até o infinito. Precisamos calcular o campo elétrico no ponto P localizado no eixo y, a uma distância R da origem. Também vamos analisar se podemos aproximar o fio como uma carga puntiforme ou se estamos muito próximos do fio para isso, e por quê.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a situação. Temos uma linha de carga infinita começando na origem e indo para x = +infty. O ponto P está no eixo y, a uma distância R da origem.

Passo 3

Para calcular o campo elétrico devido a uma linha de carga, precisamos usar o princípio da superposição, integrando contribuições de pequenos elementos de carga ao longo do fio.

Passo 4

Considere um pequeno elemento de carga dq localizado a uma posição x no eixo x. A distância entre esse elemento e o ponto P será r = raizx^2 + R^2.

Passo 5

O elemento de carga dq pode ser expresso em termos da densidade linear de carga: dq = lambda , dx.

Passo 6

O campo elétrico devido a dq no ponto P será:
dE = 14pivarepsilon0 dqr^2 r
onde r é o vetor unitário apontando de dq para P.

Passo 7

Decompomos dE em componentes x e y. Pela simetria, os componentes na direção x se cancelam quando integrados de 0 a infty, restando apenas a componente y.

Passo 8

A componente y do campo elétrico devido a dq é:
dEy = dE cdot Rr = 14pivarepsilon0 lambda , dxx^2 + R^2 cdot Rraizx^2 + R^2

Passo 9

Simplificando a expressão:
dEy = lambda R4pivarepsilon0 (x^2 + R^2)^3/2 , dx

Passo 10

Integramos dEy de x=0 a x=+infty para encontrar o campo elétrico total em P:
Ey = integral0^infty lambda R4pivarepsilon0 (x^2 + R^2)^3/2 , dx

Passo 11

Fazendo a substituição u = x/R, dx = R , du, chegamos a:
Ey = lambda4pivarepsilon0 R integral0^infty du(u^2 + 1)^3/2

Passo 12

A integral integral0^infty du(u^2 + 1)^3/2 é igual a 1.

Passo 13

Portanto:
Ey = lambda4pivarepsilon0 R

Resposta

O campo elétrico no ponto P é:
E = lambda4pivarepsilon0 R
Quanto à aproximação, não é possível considerar o fio como uma carga puntiforme, pois a linha de carga é infinita e sua contribuição ao campo não decai como o de uma carga pontual. Além disso, estamos considerando um ponto a uma distância R do fio, não sendo necessário estar muito próximo para essa aproximação específica.

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