Dados quaisquer conjuntos A, B, C e D demonstre que
C(A cap B)=C A cup C B;

Passo 1

O enunciado pede para provar a lei de De Morgan para a interseção, ou seja, que o complemento de Acap B é igual à união dos complementos de A e de B:
C(Acap B)=C Acup C B
Vamos usar a prova elemento a elemento, mostrando as duas inclusões.

Passo 2

Mostramos que
C(Acap B),subseteq,C Acup C B
Seja xin C(Acap B). Pela definição de complemento, isso significa que
xnotin Acap B
Mas xnotin Acap B equivale a dizer que xnotin A ou xnotin B. Logo xin C A ou xin C B, e portanto
xin C Acup C B

Passo 3

Agora mostramos que
C Acup C B,subseteq,C(Acap B)
Seja xin C Acup C B. Então xin C A ou xin C B, isto é, xnotin A ou xnotin B. Logo xnotin Acap B, o que implica
xin C(Acap B)

Passo 4

Como provamos ambas as inclusões
C(Acap B)subseteq C Acup C B e C Acup C Bsubseteq C(Acap B),
concluímos que
C(Acap B)=C Acup C B

Resposta

C(Acap B)=C Acup C B

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