Se um tanque mantém 4 galões de agua, que escoa pelo fundo em 4 minutos, então a Lei de Torricelli dá o volume v de água que restou no tanque depois de t minutos como v=500(1-t40)^2, 0 <= t <= 40. Encontre a taxa segundo a qual a água está escoando do tanque depois de:
5 min

Passo 1

O enunciado dá o volume de água restante no tanque após t minutos segundo a Lei de Torricelli:
v(t) = 500l(1 - t40r)^2, 0 <= t <= 40
Queremos a taxa de escoamento após 5 minutos, ou seja, a taxa de variação do volume em função do tempo nesse instante.

Passo 2

Para achar a taxa de variação do volume usamos derivação de função composta (regra da cadeia). Calculamos
dvdt = 500 cdot 2l(1 - t40r)cdotddtl(1 - t40r) = 500cdot 2l(1 - t40r)cdotl(-140r)

Passo 3

Simplificando a expressão:
dvdt = -100040l(1 - t40r) = -25l(1 - t40r)

Passo 4

Avaliamo-la em t=5 minutos:
dvdtl|t=5 = -25l(1 - 540r) = -25cdot3540 = -1758 (galões por minuto) õ

Passo 5

Como o volume está diminuindo, a taxa de escoamento (positiva) é o valor absoluto de dvdt. Assim,
taxa de escoamento em t=5 = -dvdtl|t=5 = 1758 galões por minuto õ

Resposta

A água está escoando à razão de tfrac1758 galões por minuto após 5 minutos.

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