Dados quaisquer conjuntos A, B, C e D demonstre que
C(A cup B)=C A cap C B.

Passo 1

O enunciado pede para provar a Lei de De Morgan para complementos, ou seja que
C(A cup B) ;=; C A ,cap, C B
Aqui usamos o método elementar de igualdade de conjuntos: mostramos as duas inclusões C(A cup B)subset C Acap C B e C Acap C Bsubset C(A cup B).

Passo 2

Prova de C(A cup B)subset C Acap C B.
Seja xin C(Acup B). Por definição de complemento, isso quer dizer que
xnotin Acup B
Mas xnotin Acup B significa que xnotin A e xnotin B. Logo
xin C A e xin C B,
isto é,
xin C Acap C B
Portanto C(Acup B)subset C Acap C B.

Passo 3

Prova de C Acap C Bsubset C(Acup B).
Seja xin C Acap C B. Então por definição
xin C A e xin C B,
ou seja
xnotin A e xnotin B
Daí xnotin Acup B, o que implica
xin C(Acup B)
Logo C Acap C Bsubset C(Acup B).

Resposta

C(A cup B) = C A cap C B

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