(17) sumk=1^infty 3^k3^k / 2

Passo 1

Vamos analisar a série infinita
sumk=1^infty 3^k3^k/2
O conteúdo aqui é séries geométricas e o que precisamos é: (a) simplificar o termo geral e (b) usar o critério de convergência para séries geométricas.

Passo 2

Simplificamos o termo geral usando propriedades de potências:
3^k3^k/2 = 3^,k - k2 = 3^k2
Logo a série fica
sumk=1^infty3^k2

Passo 3

Reconhecemos que ,3^k2=(raiz3,)^k. Portanto a soma é
sumk=1^infty(raiz3,)^k,
ou seja, uma série geométrica de razão
;r=raiz3

Passo 4

O critério de convergência para séries geométricas diz que ela converge se, e somente se, lvert rrvert<1. Aqui temos
r=raiz3>1,
logo não satisfaz o critério de convergência.

Resposta

A série diverge.

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