Determine o domínio, a imagem, a paridade, o período, e esboce o gráfico das funções a seguir:
Passo 1
O enunciado pede para analisar a função
e determinar seu domínio, imagem, paridade, período e esboçar o gráfico. O assunto é estudo de funções reais de variável real, e vamos usar conceitos de definição de domínio, imagem, simetria (paridade), periodicidade e representação gráfica.
Passo 2
Para achar o domínio, precisamos ver para quais valores de a expressão está bem definida. Como existe para todo e a multiplicação por não traz restrições, concluímos que
Passo 3
Para obter a imagem, convém escrever
temos
Para e toma todos os valores em . Para , e toma todos os valores em . Combinando as duas partes,
Passo 4
Para verificar a paridade, comparamos com :
Como f(-x)=-f(x) para todo x, a função é ímpar.
Passo 5
Uma função periódica teria algum T>0 tal que f(x+T)=f(x) para todo x. Se existisse tal T, pela imparidade teríamos também f(-x+T)=f(-x), mas o comportamento quadrático para x>=0 e antissimétrico para x<0 não se repete em ciclos. Mais diretamente, uma parabólica (ou antparabólica) não é periódica. Logo, f não é periódica.
Passo 6
Para esboçar o gráfico, note:
Em x>=0, f(x)=x^2: é uma parábola voltada para cima com vértice em (0,0).
Em x<0, f(x)=-x^2: é uma parábola voltada para baixo, também com vértice em (0,0).
Assim, o gráfico é formado por duas “meias-parábolas” que se encontram em (0,0): a da direita subindo e a da esquerda descendo.
Resposta
Domínio: R
Imagem: R
Paridade: ímpar
Período: não é periódica
Gráfico: meia parábola x^2 para x>=0 e meia parábola -x^2 para x<0, unidas em (0,0).