lang<=A B, C Drang<=+lang<=A C, D Brang<=+lang<=A D, B Crang<==0
Suponhamos, em seguida, que D seja o ponto de encontro das alturas do triângulo triang<= A B C que partem dos vértices B e C, de modo que A B perp C D e A C perp D B. Deduza que A D é perpendicular a B C e conclua daí que as três alturas do triângulo triang<= A B C se encontram no mesmo ponto D.
Passo 1
O enunciado trabalha com vetores no plano e produto interno. Definimos u=AB, v=BC e w=CD.
Como u+v=AC, v+w=BD e u+v+w=AD, queremos mostrar que
Agora suponha que ABperp CD e ACperp DB. Isso significa lang<=u,wrang<==0 e lang<=u+v,-(v+w)rang<==0.
Na identidade S=0 os dois primeiros somandos então são nulos, logo também lang<=u+v+w,vrang<==0.
Passo 5
Como u+v+w=AD e v=BC, concluímos lang<=AD,BCrang<==0, ou seja, ADperp BC. Dessa forma as três alturas de triang<= ABC são concorrentes em D.