Dados quatro pontos quaisquer A, B, C e D no plano, ponha
u=A B, v=B C e w=C D
portanto
u+v=A C, v+w=B D e u+v+w=A D
Conclua então que
lang<=A B, C Drang<=+lang<=A C, D Brang<=+lang<=A D, B Crang<==0
Suponhamos, em seguida, que D seja o ponto de encontro das alturas do triângulo triang<= A B C que partem dos vértices B e C, de modo que A B perp C D e A C perp D B. Deduza que A D é perpendicular a B C e conclua daí que as três alturas do triângulo triang<= A B C se encontram no mesmo ponto D.

Passo 1

O enunciado trabalha com vetores no plano e produto interno. Definimos
u=AB, v=BC e w=CD.
Como u+v=AC, v+w=BD e u+v+w=AD, queremos mostrar que
lang<=AB,CDrang<=+lang<=AC,DBrang<=+lang<=AD,BCrang<==0
Para isso usaremos a bilinearidade e a simetria do produto interno.

Passo 2

Chamemos
S=lang<=AB,CDrang<=+lang<=AC,DBrang<=+lang<=AD,BCrang<=
Substituindo pelos vetores u,v,w e lembrando que DB=-(v+w), obtemos
S=lang<=u,wrang<= +lang<=u+v,-l(v+wr)rang<= +lang<=u+v+w,vrang<=

Passo 3

Aplicando bilinearidade e simetria em cada termo, temos
S&=lang<=u,wrang<= -l[lang<=u,vrang<=+lang<=v,vrang<=r] -l[lang<=u,wrang<=+lang<=v,wrang<=r] +l[lang<=u,vrang<=+lang<=v,vrang<=+lang<=w,vrang<=r] &=lang<=u,wrang<=-lang<=u,wrang<= -lang<=u,vrang<=+lang<=u,vrang<= -lang<=v,vrang<=+lang<=v,vrang<= -lang<=v,wrang<=+lang<=w,vrang<= =0
Portanto a igualdade pedida está demonstrada.

Passo 4

Agora suponha que ABperp CD e ACperp DB. Isso significa
lang<=u,wrang<==0 e
lang<=u+v,-(v+w)rang<==0.
Na identidade S=0 os dois primeiros somandos então são nulos, logo também
lang<=u+v+w,vrang<==0.

Passo 5

Como u+v+w=AD e v=BC, concluímos
lang<=AD,BCrang<==0, ou seja, ADperp BC. Dessa forma as três alturas de triang<= ABC são concorrentes em D.

Resposta

lang<=AB,CDrang<= +lang<=AC,DBrang<= +lang<=AD,BCrang<==0,
além disso ADperpBC, mostrando que as três alturas de triang<= ABC se encontram em D.

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