Questão 1 (2 pontos)
Considere a curva x^2-x y+y^2=3.
(a) Encontre a equação da reta tangente à curva no ponto (raiz8, 0),
(b) Encontre a equação da reta normal à curva no mesmo ponto do item (a).

Passo 1

O enunciado dá a curva
x^2 - x y + y^2 = 3
e pede a reta tangente e a reta normal a essa curva no ponto (raiz8,0).
O conteúdo principal aqui é derivação implícita para encontrar a inclinação da tangente e depois usar a forma ponto-inclinação de reta para as duas retas.

Passo 2

Derivamos ambos os lados de
x^2 - x y + y^2 = 3
em relação a x. Usando produto em -xy e a regra da cadeia em y^2, obtemos
2x ;-;l(y + x,y'r);+;2y,y' ;=;0
Reagrupando os termos com y',
2x - y - x,y' + 2y,y' = 0 Longrightarrow y',(-x + 2y) = y - 2x
Logo,
y' = y - 2x-,x + 2y = 2x - yx - 2y

Passo 3

A inclinação da tangente no ponto (raiz8,0) é
y'l(raiz8,0r) = 2raiz8 - 0raiz8 - 0 = 2raiz8raiz8 = 2
Usando a forma ponto-inclinação y - y0 = m(x - x0) com m=2 e (x0,y0)=(raiz8,0), temos
y - 0 = 2l(x - raiz8r) Longrightarrow y = 2x - 2raiz8
Como raiz8 = 2raiz2, fica
y = 2x - 4raiz2

Passo 4

A reta normal tem inclinação oposta e recíproca de 2, ou seja,
mrm normal = -12
Aplicando a forma ponto-inclinação em (raiz8,0),
y - 0 = -tfrac12l(x - raiz8r) Longrightarrow y = -tfrac12 x + tfrac12raiz8 = -tfrac12 x + raiz2

Resposta

(a) y = 2x - 4raiz2
(b) y = -tfrac12,x + raiz2

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