Questão 1 (2 pontos)
Considere a curva
.
(a) Encontre a equação da reta tangente à curva no ponto
,
(b) Encontre a equação da reta normal à curva no mesmo ponto do item (a).
Considere a curva
(a) Encontre a equação da reta tangente à curva no ponto
(b) Encontre a equação da reta normal à curva no mesmo ponto do item (a).
Passo 1
O enunciado dá a curva
e pede a reta tangente e a reta normal a essa curva no ponto
.
O conteúdo principal aqui é derivação implícita para encontrar a inclinação da tangente e depois usar a forma ponto-inclinação de reta para as duas retas.
O conteúdo principal aqui é derivação implícita para encontrar a inclinação da tangente e depois usar a forma ponto-inclinação de reta para as duas retas.
Passo 2
Derivamos ambos os lados de
em relação a
. Usando produto em
e a regra da cadeia em
, obtemos
Reagrupando os termos com
,
Logo,
Passo 3
A inclinação da tangente no ponto
é
Usando a forma ponto-inclinação
com
e
, temos
Como
, fica
Passo 4
A reta normal tem inclinação oposta e recíproca de
, ou seja,
Aplicando a forma ponto-inclinação em
,
Resposta
(a)
(b)
(b)