Dados quatro vectores não nulos A, B, C e D de V_{n} tais que C=A+B e A é para. lelo a D. Provar que C é paralelo a D se e só se B é paralelo a D.

Passo 1

O enunciado dá quatro vetores não nulos A,B,C,D\in V_n tais que
C = A + B
e sabemos que A é paralelo a D. O conteúdo aqui é a definição de paralelismo entre vetores: dois vetores X e Y são paralelos se, e só se, existe um escalar \lambda tal que
X = \lambda Y.

Passo 2

Primeiro, mostremos que se B é paralelo a D então C também é paralelo a D.
Como A é paralelo a D, existe \beta tal que
A = \beta D.
Se B é paralelo a D, existe \alpha tal que
B = \alpha D.
Logo,
C = A + B = \beta D + \alpha D = (\beta + \alpha)\,D,
o que mostra que C é múltiplo de D, ou seja, C\parallel D.

Passo 3

Agora, mostremos que se C é paralelo a D então B é paralelo a D.
Como C\parallel D, existe \gamma tal que
C = \gamma D.
Mais uma vez, A = \beta D. Então
B = C - A = \gamma D - \beta D = (\gamma - \beta)\,D,
logo B também é múltiplo de D, ou seja, B\parallel D.

Resposta

Concluímos que C\parallel D se, e somente se, B\parallel D.

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