\mathrm{Em} V_{n} demonstrar que dois vectores paralelos a um mesmo vector são paralelos entre si,

Passo 1

Resumindo o enunciado: em V_n queremos mostrar que, se dois vectores v e w são paralelos a um mesmo vector u, então v e w são paralelos entre si. O conteúdo usado é a definição de paralelismo em espaços vetoriais: dizemos que um vector x é paralelo a y (escrevemos x\parallel y) se existe um escalar \alpha tal que x=\alpha\,y.

Passo 2

Pela hipótese v\parallel u e w\parallel u, existem escalares \alpha,\beta\in\mathbb{R} tais que
v=\alpha\,u \quad\text{e}\quad w=\beta\,u.

Passo 3

Se \alpha=0 ou \beta=0, então v=0 ou w=0. Como o vector nulo é paralelo a qualquer vector por definição, nesse caso já obtemos v\parallel w.

Passo 4

Agora considere o caso geral em que \alpha\neq0 e \beta\neq0. Da segunda relação temos
u=\frac{1}{\beta}\,w,
e substituindo essa expressão em v=\alpha\,u obtemos
v=\alpha\Bigl(\frac{1}{\beta}w\Bigr) =\frac{\alpha}{\beta}\,w.
Pelo critério de paralelismo, isso implica v\parallel w.

Resposta

Portanto, quaisquer dois vectores que são paralelos a um mesmo vector são paralelos entre si, isto é, v\parallel w.

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