Sejam A=(1,1,1,0), B=(0,1,1,1), C=(1,1,0,0) três vectores de V_{4} e D=x A+ +y B+z C, com x, y, z escalares.
(a) Determinar as componentes de D.
(b) Se D=0, provar que x=y=z=0.
(c) Determinar x, y, z tais que D=(1,5,3,4).
(d) Provar que nenhum escolha de x, y, z faz D=(1,2,3,4).

Passo 1

O enunciado trabalha com três vetores de \mathbb{V}_{4}
A=(1,1,1,0),\quad B=(0,1,1,1),\quad C=(1,1,0,0)
e define
D = x\,A \;+\; y\,B \;+\; z\,C
com x,y,z\in\mathbb{R}.
Vamos:
– (a) achar as componentes de D;
– (b) mostrar que D=0 implica x=y=z=0 (independência linear);
– (c) resolver para D=(1,5,3,4);
– (d) mostrar que não há solução para D=(1,2,3,4).

Passo 2

Para cada componente de D somamos as correspondentes de xA, yB e zC. Assim,
xA = (x,x,x,0),\quad yB = (0,y,y,y),\quad zC = (z,z,0,0).
Logo,
D = (\,x + 0 + z,\; x + y + z,\; x + y + 0,\; 0 + y + 0\,),
isto é,
D = \bigl(x+z,\;x+y+z,\;x+y,\;y\bigr).

Passo 3

Se D=0, então cada componente é zero. Do quarto componente vem
y = 0.
Do terceiro componente, com y=0, vem
x + y = 0 \implies x = 0.
Finalmente, do primeiro componente, com x=0, vem
x + z = 0 \implies z = 0.
Portanto x=y=z=0, mostrando que A,B,C são linearmente independentes.

Passo 4

Queremos D=(1,5,3,4). Pelo quarto componente temos
y = 4.
Pelo terceiro componente,
x + y = 3 \implies x + 4 = 3 \implies x = -1.
Pelo primeiro componente,
x + z = 1 \implies -1 + z = 1 \implies z = 2.
Confirmação no segundo componente:
x + y + z = -1 + 4 + 2 = 5,
ok. Logo
(x,y,z)=(-1,\,4,\,2).

Passo 5

Tentar D=(1,2,3,4). Do quarto componente dá y=4. Do terceiro, x+y=3 leva a x=-1. Do primeiro, x+z=1 leva a z=2. Mas então o segundo componente seria
x + y + z = -1 + 4 + 2 = 5 \neq 2,
contradição. Portanto não há (x,y,z) que produza (1,2,3,4).

Resposta

(a) D=(x+z,\;x+y+z,\;x+y,\;y).
(b) Da equação D=0 segue y=0, depois x=0 e então z=0.
(c) (x,y,z)=(-1,\,4,\,2).
(d) Não existe solução para D=(1,2,3,4).

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