Sejam
três vectores de
e
, com
escalares.
(a) Determinar as componentes de
.
(b) Se
, provar que
.
(c) Determinar
tais que
.
(d) Provar que nenhum escolha de
faz
.
(a) Determinar as componentes de
(b) Se
(c) Determinar
(d) Provar que nenhum escolha de
Passo 1
O enunciado trabalha com três vetores de
e define
com
.
Vamos:
– (a) achar as componentes de ;
– (b) mostrar que implica
(independência linear);
– (c) resolver para ;
– (d) mostrar que não há solução para .
Vamos:
– (a) achar as componentes de
– (b) mostrar que
– (c) resolver para
– (d) mostrar que não há solução para
Passo 2
Para cada componente de
somamos as correspondentes de
,
e
. Assim,
Logo,
isto é,
Passo 3
Se
, então cada componente é zero. Do quarto componente vem
Do terceiro componente, com
, vem
Finalmente, do primeiro componente, com
, vem
Portanto
, mostrando que
são linearmente independentes.
Passo 4
Queremos
. Pelo quarto componente temos
Pelo terceiro componente,
Pelo primeiro componente,
Confirmação no segundo componente:
ok. Logo
Passo 5
Tentar
. Do quarto componente dá
. Do terceiro,
leva a
. Do primeiro,
leva a
. Mas então o segundo componente seria
contradição. Portanto não há
que produza
.
Resposta
(a)
(b) Da equação segue
, depois
e então
.
(c)
(d) Não existe solução para .
(b) Da equação
(c)
(d) Não existe solução para