demonstrar que dois vectores paralelos a um mesmo vector são paralelos entre si,
Passo 1
Resumindo o enunciado: em
queremos mostrar que, se dois vectores
e
são paralelos a um mesmo vector
, então
e
são paralelos entre si. O conteúdo usado é a definição de paralelismo em espaços vetoriais: dizemos que um vector
é paralelo a
(escrevemos
) se existe um escalar
tal que
.
Passo 2
Pela hipótese
e
, existem escalares
tais que
Passo 3
Se
ou
, então
ou
. Como o vector nulo é paralelo a qualquer vector por definição, nesse caso já obtemos
.
Passo 4
Agora considere o caso geral em que
e
. Da segunda relação temos
e substituindo essa expressão em
obtemos
Pelo critério de paralelismo, isso implica
.
Resposta
Portanto, quaisquer dois vectores que são paralelos a um mesmo vector são paralelos entre si, isto é,
.