Dados
, com
, mostre que
é irracional e que
.
Passo 1
A questão dá dois racionais r e s com 0 < 2r < s e define θ = r√2 − r + s/2. Precisamos mostrar que θ é irracional e que fica estritamente entre r e s. O conteúdo envolve propriedades de números irracionais (√2) e manipulação de desigualdades.
Passo 2
Para provar que θ é irracional, suponha, por absurdo, que θ seja racional. Como r e s/2 são racionais, a soma θ + r − s/2 também seria racional. Mas observe que
se θ fosse racional, o lado direito seria racional, forçando √2 a ser racional (dividindo por r ≠ 0). Isso contradiz a irracionalidade de √2. Logo, θ não pode ser racional.
Passo 3
Agora vamos mostrar que θ > r. Escrevendo θ como
usamos que s/2 > r (pois 2r < s) para obter
Como √2 > 1, temos r√2 > r. Portanto θ > r.
Passo 4
Por fim, para provar θ < s, notamos que √2 < 2 implica √2 − 1 < 1. Assim
e então
Passo 5
Juntando tudo, concluímos que θ é irracional e satisfaz r < θ < s.
Resposta
θ é irracional e r < θ < s.