Dados r, s in Q, com 0<2 r, mostre que theta=r raiz2-r+s / 2 é irracional e que r.

Passo 1

A questão dá dois racionais r e s com 0 < 2r < s e define θ = r√2 − r + s/2. Precisamos mostrar que θ é irracional e que fica estritamente entre r e s. O conteúdo envolve propriedades de números irracionais (√2) e manipulação de desigualdades.

Passo 2

Para provar que θ é irracional, suponha, por absurdo, que θ seja racional. Como r e s/2 são racionais, a soma θ + r − s/2 também seria racional. Mas observe que
r√2 = θ + r - s2
se θ fosse racional, o lado direito seria racional, forçando √2 a ser racional (dividindo por r ≠ 0). Isso contradiz a irracionalidade de √2. Logo, θ não pode ser racional.

Passo 3

Agora vamos mostrar que θ > r. Escrevendo θ como
θ = r(√2 - 1) + s2,
usamos que s/2 > r (pois 2r < s) para obter
θ > r(√2 - 1) + r = r√2
Como √2 > 1, temos r√2 > r. Portanto θ > r.

Passo 4

Por fim, para provar θ < s, notamos que √2 < 2 implica √2 − 1 < 1. Assim
r(√2 - 1) < r < s2,
e então
θ = r(√2 - 1) + s2 < s2 + s2 = s

Passo 5

Juntando tudo, concluímos que θ é irracional e satisfaz r < θ < s.

Resposta

θ é irracional e r < θ < s.

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