3- Dados uma reta r , um ponto A em r e um ponto B fora de r , traçar a circunferência que tangencia r em A e passa por B.
Passo 1
O enunciado pede a construção de uma circunferência que seja tangente à reta r no ponto A (com A\in r) e que também passe por um ponto B que não está sobre r. O conteúdo usado aqui é geometria elementar de construções com régua e compasso. Vamos precisar da condição de tangência (o raio à reta tangente deve ser perpendicular a ela) e da condição de que o centro do círculo está à mesma distância de A e de B (pois ambos são pontos da circunferência).
Passo 2
Traçar a reta s perpendicular a r passando por A. Essa reta s contém todos os possíveis centros de circunferências que sejam tangentes a r em A, pois a tangência exige que o raio até A seja perpendicular a r.
Passo 3
Construir a mediatriz do segmento \overline{AB}. Essa mediatriz é a reta m formada pelos pontos que estão equidistantes de A e de B. Geometricamente, traça-se primeiro dois arcos de mesma abertura (maior que \tfrac{AB}{2}) centrados em A e em B, marcando suas interseções acima e abaixo do segmento. Depois une-se essas interseções para obter m.
Passo 4
Marcar o ponto de interseção O entre as retas s (perpendicular a r em A) e m (mediatriz de \overline{AB}). Esse ponto O satisfaz simultaneamente
OA\perp r, garantindo a tangência em A,
OA=OB, garantindo que tanto A quanto B estão na mesma circunferência de centro O.
Passo 5
Com o compasso, traçar a circunferência de centro O e raio OA (ou OB, já que são iguais). Essa é a circunferência buscada: ela tangencia r em A e passa por B.
Resposta
A circunferência de centro O=s\cap m e raio \,OA=OB.