Questão 10 Mostre que se dois trapézios possuem áreas iguais então a soma das medidas das bases é inversamente proporcionais as medidas de suas respectivas alturas.

Passo 1

O enunciado diz que temos dois trapézios com áreas iguais. Vamos chamar as bases do primeiro trapézio de b_1 (base menor) e B_1 (base maior) e sua altura de h_1. Analogamente, as bases do segundo trapézio são b_2 e B_2 e sua altura é h_2. O conteúdo que vamos usar é a fórmula da área do trapézio e o conceito de proporcionalidade inversa.

Passo 2

A área de um trapézio é dada por
A = \frac{h\,(b + B)}{2}.
Portanto, para o primeiro trapézio
A_1 = \frac{h_1\,(b_1 + B_1)}{2},
e para o segundo
A_2 = \frac{h_2\,(b_2 + B_2)}{2}.

Passo 3

Como as áreas são iguais, temos
A_1 = A_2 \quad\Longrightarrow\quad \frac{h_1\,(b_1 + B_1)}{2} \;=\; \frac{h_2\,(b_2 + B_2)}{2}.
Multiplicando ambos os lados por 2, fica
h_1\,(b_1 + B_1) \;=\; h_2\,(b_2 + B_2).

Passo 4

Da igualdade acima segue
\frac{b_1 + B_1}{b_2 + B_2} \;=\; \frac{h_2}{h_1}.
Isso mostra que a razão entre as somas das bases dos dois trapézios é igual à razão inversa de suas alturas, ou seja, a soma das bases é inversamente proporcional à altura.

Resposta

\frac{b_1 + B_1}{b_2 + B_2} = \frac{h_2}{h_1},
logo a soma das medidas das bases é inversamente proporcional às medidas das alturas.

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