(2,0) Dados:
A reta r com vetor diretor v=(1,1,-1) e passando pelo ponto P(0,1,7), determine as equações vetorial, paramétricas e simétricas de r. Verifique se Q(4,-1,0) pertence a r.

Passo 1

O enunciado nos dá uma reta r no espaço com vetor diretor vec v = (1,1,-1) e que passa pelo ponto P(0,1,7). Precisamos escrever as equações vetorial, paramétricas e simétricas de r e verificar se o ponto Q(4,-1,0) pertence a ela. O conteúdo utilizado é geometria analítica de retas no espaço, usando representação vetorial e sua equivalência paramétrica e simétrica.

Passo 2

A equação vetorial de uma reta que passa por e tem vetor diretor é
Substituindo e , temos

Passo 3

Das coordenadas da equação vetorial extraímos as equações paramétricas:
x = 0 + t = t, y = 1 + t, z = 7 - t

Passo 4

Para as equações simétricas isolamos t em cada expressão:
x-01 = y-11 = z-7-1

Passo 5

Verificamos se Q(4,-1,0) pertence a r. Da coordenada x temos
x=4 implies t=4
Mas na coordenada y seria
-1 = 1 + t implies t = -2,
o que é incompatível com t=4. Portanto Q não está em r.

Resposta

Equação vetorial:
vec r = 017 + t11-1
Equações paramétricas:
x = t, y = 1+t, z = 7-t
Equações simétricas:
x-01 = y-11 = z-7-1
O ponto Q(4,-1,0) não pertence à reta r.

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