(3,0 pontos)
a) Encontrar a equação do plano que passa pelo ponto P(1,2,1) e que contém a reta r que é intersecção entre os planos pi: 2 x-3 y+4 z-1=0 e alpha: x-3 y-2 z+2=0.
b) Determinar a distância entre P e esta reta r .
c) Determinar a distância entre P e o plano pi.

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
a) A equação do plano beta que passa pelo ponto P(1,2,1) e contém a reta r obtida como interseção dos planos
pi:;2x-3y+4z-1=0
alpha:;x-3y-2z+2=0
b) A distância de P até a reta r.
c) A distância de P até o plano pi.
Conteúdos necessários: interseção de dois planos (reta), produto vetorial para achar vetor diretor da reta e normal de um plano, forma geral de equação de plano, fórmulas de distância ponto-reta e ponto-plano.

Passo 2

Para achar a reta
  1. Um ponto na interseção escolhemos fazendo e resolvendo
Subtraindo a segunda da primeira vem .
Logo .
Assim a forma paramétrica de é

Passo 3

O plano beta deve conter a reta r (logo os vetores v e AP) e o ponto P.
  1. Calculamos AP=P-A=(1-3,2-tfrac53,1-0)=(-2,tfrac13,1).
  2. O normal de beta é
nbeta = vtimesAP =(18,8,-3)times(-2,tfrac13,1) =(9,-12,22)
  1. A equação de beta em forma geral passando por P(1,2,1) é
9(x-1)-12(y-2)+22(z-1)=0 ;Longrightarrow; 9x-12y+22z-7=0

Passo 4

A distância de P até a reta r é
d(P,r) =|APtimes v|| v| =| nbeta||,(18,8,-3)| =raiz9^2+(-12)^2+22^2raiz18^2+8^2+(-3)^2 =raiz709raiz397

Passo 5

A distância de P até o plano pi é dada por
d(P,pi) =l|2cdot1-3cdot2+4cdot1-1r|raiz2^2+(-3)^2+4^2 =|2-6+4-1|raiz29 =1raiz29

Resposta

(a) 9x-12y+22z-7=0
(b) raiz709raiz397
(c) 1raiz29

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