Dados os seguintes números complexos: Z_{1}=2+j 3 ; Z_{2}=5-j 4 ; Z_{3}=5 \angle 37^{\circ}; Z_{4}=6 \angle-15^{\circ}; calcule (evite usar calculadora):
Z_{3} e Z_{4} em suas formas retangulares

Passo 1

O enunciado dá os números complexos (peguei estes valores do enunciado) e pede para escrevê-los em forma retangular:
  • Z_{3}=5\angle 37^{\circ}.
  • Z_{4}=6\angle -15^{\circ}.
O que é pedido: encontrar Z_{3} e Z_{4} na forma retangular x+jy (ou seja, determinar as partes real e imaginária).

Passo 2

Fórmula de conversão polar → retangular (aulas rápidas):
  • Se Z=r\angle\theta, então
Z=r\big(\cos\theta + j\sin\theta\big).
Aqui r é o módulo (distância ao zero) e \theta é o argumento (ângulo). Para obter a forma x+jy calcula-se x=r\cos\theta e y=r\sin\theta.
Vou aplicar isso a cada número. Onde possível vou usar identidades trigonométricas exatas para evitar calculadora.

Passo 3

Converter Z_{3}=5\angle 37^{\circ}.
Observação prática (muito usada em exercícios): o ângulo 37^{\circ} normalmente está associado ao triângulo 3\text{-}4\text{-}5, pois \arctan(3/4)\approx 36{,}87^{\circ}, que aparece como 37^{\circ} em muitos problemas escolares. Nesse caso vale
\cos 37^{\circ}\approx\frac{4}{5},\qquad \sin 37^{\circ}\approx\frac{3}{5}.
Usando a fórmula:
Z_{3}=5\big(\cos 37^{\circ}+j\sin 37^{\circ}\big)\approx 5\Big(\frac{4}{5}+j\frac{3}{5}\Big)=4+j3.
Comentário amigo: isso é o modo que professores costumam esperar quando pedem sem calculadora — reconhecer o triângulo 3\text{-}4\text{-}5. Se o enunciado exigisse precisão com os 37^{\circ} exatos, seria necessário calculadora; aqui a conversão acima é a resposta prática e correta para provas.

Passo 4

Converter Z_{4}=6\angle -15^{\circ}.
Primeiro usar a identidade (ângulo negativo):
\cos(-15^{\circ})=\cos 15^{\circ},\qquad \sin(-15^{\circ})=-\sin 15^{\circ}.
Portanto
Z_{4}=6\big(\cos(-15^{\circ})+j\sin(-15^{\circ})\big)=6\big(\cos 15^{\circ}-j\sin 15^{\circ}\big).
Agora obter \cos 15^{\circ} e \sin 15^{\circ} exatamente usando a fórmula de diferença de ângulos \cos(A-B)=\cos A\cos B+\sin A\sin B com A=45^{\circ},\,B=30^{\circ}:
\cos 15^{\circ}=\cos(45^{\circ}-30^{\circ})=\cos45^{\circ}\cos30^{\circ}+\sin45^{\circ}\sin30^{\circ}.
Sabendo que \cos45^{\circ}=\sin45^{\circ}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, \cos30^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \sin30^{\circ}=\dfrac{1}{2}, temos
\cos 15^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2} =\frac{\sqrt{2}}{4}\big(\sqrt{3}+1\big)=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}.
De modo análogo, usando \sin(A-B)=\sin A\cos B-\cos A\sin B,
\sin 15^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{4}\big(\sqrt{3}-1\big)=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}.
Substituindo em Z_{4}:
Z_{4}=6\Big(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}-j\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\Big) = \frac{6}{4}\big(\sqrt{6}+\sqrt{2}\big) - j\frac{6}{4}\big(\sqrt{6}-\sqrt{2}\big).
Simplificando a fração \dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2}, obtém-se a forma retangular exata:
Z_{4}=\frac{3}{2}\big(\sqrt{6}+\sqrt{2}\big) - j\frac{3}{2}\big(\sqrt{6}-\sqrt{2}\big).

Passo 5

Resumo final (forma retangular, sem calculadora e com exatidão quando possível):
  • Z_{3} foi convertido aproveitando o triângulo 3\text{-}4\text{-}5 para dar um resultado simples 4+j3.
  • Z_{4} foi convertido usando identidades trigonométricas para escrever \cos 15^{\circ} e \sin 15^{\circ} em radicais, dando uma forma exata sem aproximação decimal.

Resposta

Z_{3}=4+j3
Z_{4}=\dfrac{3}{2}\big(\sqrt{6}+\sqrt{2}\big)\;-\;j\,\dfrac{3}{2}\big(\sqrt{6}-\sqrt{2}\big)

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