Dados os seguintes números complexos:
;
; calcule (evite usar calculadora):
em suas formas retangulares
Passo 1
O enunciado dá os números complexos (peguei estes valores do enunciado) e pede para escrevê-los em forma retangular:
-
. -
.
O que é pedido: encontrar
e
na forma retangular
(ou seja, determinar as partes real e imaginária).
Passo 2
Fórmula de conversão polar → retangular (aulas rápidas):
- Se
, então
Aqui
é o módulo (distância ao zero) e
é o argumento (ângulo). Para obter a forma
calcula-se
e
.
Vou aplicar isso a cada número. Onde possível vou usar identidades trigonométricas exatas para evitar calculadora.
Passo 3
Converter
.
Observação prática (muito usada em exercícios): o ângulo
normalmente está associado ao triângulo
, pois
, que aparece como
em muitos problemas escolares. Nesse caso vale
Usando a fórmula:
Comentário amigo: isso é o modo que professores costumam esperar quando pedem sem calculadora — reconhecer o triângulo
. Se o enunciado exigisse precisão com os
exatos, seria necessário calculadora; aqui a conversão acima é a resposta prática e correta para provas.
Passo 4
Converter
.
Primeiro usar a identidade (ângulo negativo):
Portanto
Agora obter
e
exatamente usando a fórmula de diferença de ângulos
com
:
Sabendo que
,
,
, temos
De modo análogo, usando
,
Substituindo em
:
Simplificando a fração
, obtém-se a forma retangular exata:
Passo 5
Resumo final (forma retangular, sem calculadora e com exatidão quando possível):
-
foi convertido aproveitando o triângulo para dar um resultado simples . -
foi convertido usando identidades trigonométricas para escrever e em radicais, dando uma forma exata sem aproximação decimal.