Dados os seguintes números complexos: Z_{1}=2+j 3 ; Z_{2}=5-j 4 ; Z_{3}=5 \angle 37^{\circ}; Z_{4}=6 \angle-15^{\circ}; calcule (evite usar calculadora):
Z_{1}+Z_{3}

Passo 1

O enunciado dá os números complexos e pede a soma Z_{1}+Z_{3}. As informações fornecidas são:
  • Z_{1}=2+j\,3.
  • Z_{3}=5\angle 37^\circ.
A pergunta específica é calcular Z_{1}+Z_{3}.

Passo 2

Para somar um número em forma retangular com outro em forma polar é conveniente converter o polar para a forma retangular. A fórmula de conversão é:
Z = R(\cos\theta + j\sin\theta),
onde:
  • R é a magnitude (módulo) do número complexo,
  • \theta é o argumento (ângulo) em graus,
  • \cos\theta e \sin\theta são as funções trigonométricas que dão a parte real e imaginária normalizadas.
No nosso caso, R=5 e \theta=37^\circ, então
Z_{3}=5(\cos 37^\circ + j\sin 37^\circ).

Passo 3

Para evitar usar calculadora, lembramos do triângulo retângulo 3–4–5: ele tem seno igual a \tfrac{3}{5}, cosseno igual a \tfrac{4}{5} e tangente igual a \tfrac{3}{4}. O ângulo cujo \tan vale \tfrac{3}{4} é \arctan\!\left(\tfrac{3}{4}\right)\approx 36{,}87^\circ, que é muito próximo de 37^\circ. Portanto, como aproximação sem calculadora podemos usar
\cos 37^\circ \approx \frac{4}{5}=0{,}8,\qquad \sin 37^\circ \approx \frac{3}{5}=0{,}6.
Essa aproximação é padrão em exercícios onde aparece 5\angle 37^\circ e pede-se evitar calculadora.

Passo 4

Agora convertemos Z_{3} usando a aproximação:
Z_{3}=5\bigg(\frac{4}{5}+j\frac{3}{5}\bigg)=5\cdot\frac{4}{5}+j\,5\cdot\frac{3}{5}=4+j\,3.

Passo 5

Somamos Z_{1} e a forma retangular de Z_{3}:
Z_{1}+Z_{3}=(2+j\,3)+(4+j\,3)=(2+4)+j(3+3)=6+j\,6.

Resposta

6+j\,6

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