Dados os seguintes números complexos: Z_{1}=2+j 3 ; Z_{2}=5-j 4 ; Z_{3}=5 \angle 37^{\circ}; Z_{4}=6 \angle-15^{\circ}; calcule (evite usar calculadora):
Todos os conugados, na forma retangular e polar

Passo 1

O enunciado dá quatro números complexos e pede: calcular todos os conjugados, apresentando cada conjugado nas duas formas — retangular e polar. Os dados são:
  • Z_{1}=2+j3
  • Z_{2}=5-j4
  • Z_{3}=5\angle 37^\circ
  • Z_{4}=6\angle -15^\circ
As respostas pedidas para cada Z_k são: o conjugado \overline{Z_k} escrito na forma retangular a+j b e na forma polar r\angle\theta.

Passo 2

O que é conjugado e como converter entre formas (aulas rápidas e essenciais).
  • Definição do conjugado: para um número complexo na forma retangular \,Z = a + j b\,, o conjugado é
\overline{Z} = a - j b.
Isto é, troca-se o sinal da parte imaginária.
  • Regra em forma polar: se Z = r\angle\theta (com r\ge0 e \theta em graus), então
\overline{Z} = r\angle(-\theta).
Ou seja, mantém-se o módulo e inverte-se o sinal do argumento.
  • Conversão retangular \leftrightarrow polar:
r = \sqrt{a^2+b^2},\qquad \theta = \arctan\!\left(\frac{b}{a}\right),
lembrando de ajustar \theta ao quadrante correto (sinal de a e b). Aqui usamos j para a unidade imaginária.
Vou aplicar essas regras passo a passo a cada número. Evitaremos calculadora deixando raízes e arctangentes na forma simbólica quando apropriado; para os que já estão em polar, usaremos as relações trigonométricas para expressar a forma retangular sem avaliar numericamente.

Passo 3

  1. Conjugado em forma retangular: trocar o sinal da parte imaginária:
\overline{Z_{1}} = 2 - j3.
  1. Converter \overline{Z_{1}} para a forma polar. Primeiro calcular o módulo:
r_1 = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13}.
O argumento é o ângulo cuja tangente é \dfrac{b}{a}. Aqui a parte real a=2>0 e a parte imaginária do conjugado é -3, então
\theta_1 = \arctan\!\left(\frac{-3}{2}\right) = -\arctan\!\left(\frac{3}{2}\right).
(Escrevemos o ângulo assim para evitar calcular numericamente; está no quarto quadrante.) Portanto a forma polar do conjugado é
\overline{Z_{1}} = \sqrt{13}\angle -\arctan\!\left(\frac{3}{2}\right).

Passo 4

  1. Conjugado em forma retangular: trocar o sinal da parte imaginária:
\overline{Z_{2}} = 5 + j4.
  1. Converter \overline{Z_{2}} para a forma polar. Módulo:
r_2 = \sqrt{5^2 + 4^2} = \sqrt{25+16} = \sqrt{41}.
O argumento: agora a parte real a=5>0 e parte imaginária b=4>0, então
\theta_2 = \arctan\!\left(\frac{4}{5}\right).
(Está no primeiro quadrante.) Assim a forma polar do conjugado é
\overline{Z_{2}} = \sqrt{41}\angle \arctan\!\left(\frac{4}{5}\right).

Passo 5

  1. Aplicar a regra polar do conjugado: inverte-se o sinal do ângulo mantendo o módulo:
\overline{Z_{3}} = 5\angle -37^\circ.
  1. Se quisermos a forma retangular do conjugado, usamos as relações trigonométricas (evitando calcular valores numéricos):
\overline{Z_{3}} = 5\big(\cos(-37^\circ)+j\sin(-37^\circ)\big).
Usando \cos(-\alpha)=\cos\alpha e \sin(-\alpha)=-\sin\alpha, obtemos
\overline{Z_{3}} = 5\cos 37^\circ - j\,5\sin 37^\circ.
Essa é a forma retangular (em termos de seno e cosseno), escrita sem avaliar numericamente.

Passo 6

  1. Regra do conjugado em polar:
\overline{Z_{4}} = 6\angle 15^\circ.
  1. Forma retangular do conjugado:
\overline{Z_{4}} = 6\big(\cos 15^\circ + j\sin 15^\circ\big) = 6\cos 15^\circ + j\,6\sin 15^\circ.
Novamente deixado em termos de \cos e \sin para evitar uso de calculadora.

Passo 7

  • Para os casos com partes reais/imaginaras numéricas (como Z_{1},Z_{2}) preferi fornecer o módulo como raiz exata ( \sqrt{13},\sqrt{41}) e o argumento como \arctan de uma razão, que é perfeitamente aceitável quando se evita calculadora.
  • Para os casos já em forma polar ( Z_{3},Z_{4}) a forma retangular foi deixada em termos de \cos e \sin dos ângulos dados — isto é exatamente o que se obtém ao expandir r\angle\theta = r(\cos\theta + j\sin\theta).
Força aí — você já tem tudo explicitado passo a passo; se quiser eu calculo aproximações em graus e decimais (usando valores numéricos de \cos,\sin,\arctan) para conferir com calculadora depois.

Resposta

\overline{Z_{1}} = 2 - j3 = \sqrt{13}\angle -\arctan\!\left(\dfrac{3}{2}\right)
\overline{Z_{2}} = 5 + j4 = \sqrt{41}\angle \arctan\!\left(\dfrac{4}{5}\right)
\overline{Z_{3}} = 5\angle -37^\circ = 5\cos 37^\circ - j\,5\sin 37^\circ
\overline{Z_{4}} = 6\angle 15^\circ = 6\cos 15^\circ + j\,6\sin 15^\circ

Exercícios relacionados