Dados os seguintes números complexos: Z_{1}=2+j 3 ; Z_{2}=5-j 4 ; Z_{3}=5 \angle 37^{\circ}; Z_{4}=6 \angle-15^{\circ}; calcule (evite usar calculadora):
Todos os conugados, na forma retangular e polar
Passo 1
O enunciado dá quatro números complexos e pede: calcular todos os conjugados, apresentando cada conjugado nas duas formas — retangular e polar. Os dados são:
Z_{1}=2+j3
Z_{2}=5-j4
Z_{3}=5\angle 37^\circ
Z_{4}=6\angle -15^\circ
As respostas pedidas para cada Z_k são: o conjugado \overline{Z_k} escrito na forma retangular a+j b e na forma polar r\angle\theta.
Passo 2
O que é conjugado e como converter entre formas (aulas rápidas e essenciais).
Definição do conjugado: para um número complexo na forma retangular \,Z = a + j b\,, o conjugado é
\overline{Z} = a - j b.
Isto é, troca-se o sinal da parte imaginária.
Regra em forma polar: se Z = r\angle\theta (com r\ge0 e \theta em graus), então
\overline{Z} = r\angle(-\theta).
Ou seja, mantém-se o módulo e inverte-se o sinal do argumento.
Conversão retangular \leftrightarrow polar:
r = \sqrt{a^2+b^2},\qquad \theta = \arctan\!\left(\frac{b}{a}\right),
lembrando de ajustar \theta ao quadrante correto (sinal de a e b). Aqui usamos j para a unidade imaginária.
Vou aplicar essas regras passo a passo a cada número. Evitaremos calculadora deixando raízes e arctangentes na forma simbólica quando apropriado; para os que já estão em polar, usaremos as relações trigonométricas para expressar a forma retangular sem avaliar numericamente.
Passo 3
Conjugado em forma retangular: trocar o sinal da parte imaginária:
\overline{Z_{1}} = 2 - j3.
Converter \overline{Z_{1}} para a forma polar. Primeiro calcular o módulo:
r_1 = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13}.
O argumento é o ângulo cuja tangente é \dfrac{b}{a}. Aqui a parte real a=2>0 e a parte imaginária do conjugado é -3, então
Novamente deixado em termos de \cos e \sin para evitar uso de calculadora.
Passo 7
Para os casos com partes reais/imaginaras numéricas (como Z_{1},Z_{2}) preferi fornecer o módulo como raiz exata (\sqrt{13},\sqrt{41}) e o argumento como \arctan de uma razão, que é perfeitamente aceitável quando se evita calculadora.
Para os casos já em forma polar (Z_{3},Z_{4}) a forma retangular foi deixada em termos de \cos e \sin dos ângulos dados — isto é exatamente o que se obtém ao expandir r\angle\theta = r(\cos\theta + j\sin\theta).
Força aí — você já tem tudo explicitado passo a passo; se quiser eu calculo aproximações em graus e decimais (usando valores numéricos de \cos,\sin,\arctan) para conferir com calculadora depois.