Dados os seguintes números complexos:
;
; calcule (evite usar calculadora):
Passo 1
O enunciado pede calcular o produto do número complexo
pelo número complexo
. As informações fornecidas são:
-
. -
.
A única pergunta é: calcule
.
Passo 2
Vou escolher um caminho claro e sem calculadora: converter
para a forma retangular (parte real + j parte imaginária) usando identidades trigonométricas exatas para
e
, e então multiplicar algebricamente por
. Isso evita precisar avaliar numericamente arctangentes.
Passo 3
Lembrete rápido da fórmula de conversão polar→retangular:
Aqui
é o módulo (um número real positivo) e
é o argumento (ângulo). Para multiplicação em forma retangular, se
e
, então
Explicação: multiplica-se como binômios e usa-se
.
Passo 4
Converter
para retangular:
Usar
e
. Logo
Passo 5
Calcular
e
exatamente usando a identidade de diferença
.
As fórmulas são
As fórmulas são
Aplicando com
e
:
Podemos reescrever de forma mais sintética (multiplicando por
se desejar), mas já está em forma exata útil.
Passo 6
Multiplicar por
:
Como
, obtemos a forma retangular de
:
Para ficar claro, coloquei a parte imaginária como
(negativa se
).
Passo 7
Agora multiplico
por
com
Usando a fórmula
Passo 8
Calcular passo a passo os termos:
Então a parte real é
Distribuindo e somando termos semelhantes:
Dividindo por
dá
A parte imaginária é
Distribuindo:
Dividindo por
dá
Passo 9
Portanto, em forma retangular exata:
Como checagem alternativa (opcional para a prova): usando forma polar, o módulo de
é
logo em polar
o que é consistente com a forma retangular anterior.