Dados os seguintes números complexos: Z_{1}=2+j 3 ; Z_{2}=5-j 4 ; Z_{3}=5 \angle 37^{\circ}; Z_{4}=6 \angle-15^{\circ}; calcule (evite usar calculadora):
Z_{1} * Z_{4}

Passo 1

O enunciado pede calcular o produto do número complexo Z_{1} pelo número complexo Z_{4}. As informações fornecidas são:
  • Z_{1}=2+j3.
  • Z_{4}=6\angle -15^{\circ}.
A única pergunta é: calcule Z_{1}\cdot Z_{4}.

Passo 2

Vou escolher um caminho claro e sem calculadora: converter Z_{4} para a forma retangular (parte real + j parte imaginária) usando identidades trigonométricas exatas para \cos 15^{\circ} e \sin 15^{\circ}, e então multiplicar algebricamente por Z_{1}=2+j3. Isso evita precisar avaliar numericamente arctangentes.

Passo 3

Lembrete rápido da fórmula de conversão polar→retangular:
r\angle\theta = r(\cos\theta + j\sin\theta).
Aqui r é o módulo (um número real positivo) e \theta é o argumento (ângulo). Para multiplicação em forma retangular, se Z=(x+j y) e W=(u+j v), então
ZW=(xu - yv) + j(xv + yu).
Explicação: multiplica-se como binômios e usa-se j^{2}=-1.

Passo 4

Converter Z_{4}=6\angle -15^{\circ} para retangular:
Z_{4}=6(\cos(-15^{\circ})+j\sin(-15^{\circ})).
Usar \cos(-\theta)=\cos\theta e \sin(-\theta)=-\sin\theta. Logo
Z_{4}=6(\cos15^{\circ} - j\sin15^{\circ}).

Passo 5

Calcular \cos15^{\circ} e \sin15^{\circ} exatamente usando a identidade de diferença \;15^{\circ}=45^{\circ}-30^{\circ}.
As fórmulas são
\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b,\qquad \sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b.
Aplicando com a=45^{\circ} e b=30^{\circ}:
\cos15^{\circ}=\cos45^{\circ}\cos30^{\circ}+\sin45^{\circ}\sin30^{\circ} =\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2} =\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}+1).
\sin15^{\circ}=\sin45^{\circ}\cos30^{\circ}-\cos45^{\circ}\sin30^{\circ} =\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2} =\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}-1).
Podemos reescrever de forma mais sintética (multiplicando por \sqrt{2}/\sqrt{2} se desejar), mas já está em forma exata útil.

Passo 6

Multiplicar por 6:
6\cos15^{\circ}=6\cdot\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}+1)=\frac{3}{2}(\sqrt{6}+\sqrt{2}),
6\sin15^{\circ}=6\cdot\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}-1)=\frac{3}{2}(\sqrt{6}-\sqrt{2}).
Como \sin(-15^{\circ})=-\sin15^{\circ}, obtemos a forma retangular de Z_{4}:
Z_{4}=\frac{3}{2}(\sqrt{6}+\sqrt{2}) \;+\; j\cdot\frac{3}{2}(\sqrt{2}-\sqrt{6}).
Para ficar claro, coloquei a parte imaginária como \frac{3}{2}(\sqrt{2}-\sqrt{6}) (negativa se \sqrt{6}>\sqrt{2}).

Passo 7

Agora multiplico Z_{1}=2+j3 por Z_{4}=a+jb com
a=\frac{3}{2}(\sqrt{6}+\sqrt{2}),\qquad b=\frac{3}{2}(\sqrt{2}-\sqrt{6}).
Usando a fórmula
(2+j3)(a+jb)=(2a-3b)+j(2b+3a).

Passo 8

Calcular passo a passo os termos:
2a=3(\sqrt{6}+\sqrt{2}),\qquad 3a=\frac{9}{2}(\sqrt{6}+\sqrt{2}),
2b=3(\sqrt{2}-\sqrt{6}),\qquad 3b=\frac{9}{2}(\sqrt{2}-\sqrt{6}).
Então a parte real é
2a-3b =3(\sqrt{6}+\sqrt{2})-\frac{9}{2}(\sqrt{2}-\sqrt{6}) =\frac{1}{2}\bigl(6(\sqrt{6}+\sqrt{2})-9(\sqrt{2}-\sqrt{6})\bigr).
Distribuindo e somando termos semelhantes:
6\sqrt{6}+6\sqrt{2}-9\sqrt{2}+9\sqrt{6}=15\sqrt{6}-3\sqrt{2}.
Dividindo por 2
\text{Re}(Z_{1}Z_{4})=\frac{15\sqrt{6}-3\sqrt{2}}{2}=\frac{3}{2}(5\sqrt{6}-\sqrt{2}).
A parte imaginária é
2b+3a =3(\sqrt{2}-\sqrt{6})+\frac{9}{2}(\sqrt{6}+\sqrt{2}) =\frac{1}{2}\bigl(6(\sqrt{2}-\sqrt{6})+9(\sqrt{6}+\sqrt{2})\bigr).
Distribuindo:
6\sqrt{2}-6\sqrt{6}+9\sqrt{6}+9\sqrt{2}=3\sqrt{6}+15\sqrt{2}.
Dividindo por 2
\text{Im}(Z_{1}Z_{4})=\frac{3\sqrt{6}+15\sqrt{2}}{2}=\frac{3}{2}(\sqrt{6}+5\sqrt{2}).

Passo 9

Portanto, em forma retangular exata:
Z_{1}Z_{4}=\frac{3}{2}\bigl(5\sqrt{6}-\sqrt{2}\bigr) \;+\; j\,\frac{3}{2}\bigl(\sqrt{6}+5\sqrt{2}\bigr).
Como checagem alternativa (opcional para a prova): usando forma polar, o módulo de Z_{1} é
|Z_{1}|=\sqrt{2^{2}+3^{2}}=\sqrt{13},
logo em polar
Z_{1}Z_{4}=|Z_{1}||Z_{4}|\angle(\arg Z_{1}+\arg Z_{4}) =6\sqrt{13}\angle\bigl(\arctan\!\tfrac{3}{2}-15^{\circ}\bigr),
o que é consistente com a forma retangular anterior.

Resposta

Z_{1}Z_{4}=\frac{3}{2}\bigl(5\sqrt{6}-\sqrt{2}\bigr) + j\,\frac{3}{2}\bigl(\sqrt{6}+5\sqrt{2}\bigr)
Z_{1}Z_{4}=6\sqrt{13}\angle\bigl(\arctan\!\tfrac{3}{2}-15^{\circ}\bigr)

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