Dados os seguintes números complexos:
;
; calcule (evite usar calculadora):
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes números complexos:
A pergunta que devo responder é:
- Calcular
.
Passo 2
O que significa
(a notação que aparece no pedido)?
- Para qualquer número complexo
escrito na forma , o conjugado é . - Portanto, aplicado ao caso
, o conjugado é
Passo 3
Vamos multiplicar
pelo seu conjugado usando a forma cartesiana. Escrevendo explicitamente:
Agora expandimos esse produto como se faz com binômios (distributiva).
Passo 4
Expansão passo a passo:
Calculando cada termo:
Passo 5
Agora usamos que
e que
. Assim
Somando todos os termos (observe que
e
se cancelam):
Portanto o resultado é um número real.
Passo 6
Comentário didático (como lembrar isso na prova):
- Em geral, para
vale a identidade simples
ou seja, o produto de um complexo pelo seu conjugado dá o quadrado do módulo (um real). Aqui com
e
obtemos
. Isso é rápido de calcular sem calculadora.