Dados os seguintes números complexos: Z_{1}=2+j 3 ; Z_{2}=5-j 4 ; Z_{3}=5 \angle 37^{\circ}; Z_{4}=6 \angle-15^{\circ}; calcule (evite usar calculadora):
Z_{1} \cdot Z_{1}^{*}

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes números complexos:
  • Z_{1}=2+j\,3
  • Z_{2}=5-j\,4
  • Z_{3}=5\angle 37^{\circ}
  • Z_{4}=6\angle -15^{\circ}
A pergunta que devo responder é:
  • Calcular Z_{1}\cdot Z_{1}^{*}.

Passo 2

O que significa Z_{1}^{*} (a notação que aparece no pedido)?
  • Para qualquer número complexo z escrito na forma z=a+j b, o conjugado é z^{*}=a-j b.
  • Portanto, aplicado ao caso Z_{1}=2+j\,3, o conjugado é
Z_{1}^{*}=2-j\,3.

Passo 3

Vamos multiplicar Z_{1} pelo seu conjugado usando a forma cartesiana. Escrevendo explicitamente:
Z_{1}\cdot Z_{1}^{*}=(2+j\,3)\,(2-j\,3).
Agora expandimos esse produto como se faz com binômios (distributiva).

Passo 4

Expansão passo a passo:
(2+j\,3)\,(2-j\,3)=2\cdot 2 + 2\cdot(-j\,3) + j\,3\cdot 2 + j\,3\cdot(-j\,3).
Calculando cada termo:
2\cdot 2 = 4, \qquad 2\cdot(-j\,3) = -j\,6, \qquad j\,3\cdot 2 = j\,6, \qquad j\,3\cdot(-j\,3) = -j^{2}\cdot 9.

Passo 5

Agora usamos que -j^{2}\cdot 9 = -(\,j^{2}\,)\,9 e que j^{2}=-1. Assim
-j^{2}\cdot 9 = -(-1)\cdot 9 = 9.
Somando todos os termos (observe que -j\,6 e j\,6 se cancelam):
4 + (-j\,6) + j\,6 + 9 = 4 + 9 = 13.
Portanto o resultado é um número real.

Passo 6

Comentário didático (como lembrar isso na prova):
  • Em geral, para z=a+j b vale a identidade simples
z\,z^{*}=a^{2}+b^{2}=|z|^{2},
ou seja, o produto de um complexo pelo seu conjugado dá o quadrado do módulo (um real). Aqui com a=2 e b=3 obtemos 2^{2}+3^{2}=4+9=13. Isso é rápido de calcular sem calculadora.

Resposta

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