Dados os seguintes números complexos: Z_{1}=2+j 3 ; Z_{2}=5-j 4 ; Z_{3}=5 \angle 37^{\circ}; Z_{4}=6 \angle-15^{\circ}; calcule (evite usar calculadora):
Z_{3} / Z_{2}

Passo 1

O enunciado dá os números complexos (pegando-os do enunciado):
  • Z_{2}=5-j4.
  • Z_{3}=5\angle 37^{\circ}.
O que é pedido:
  • Calcular \dfrac{Z_{3}}{Z_{2}}.

Passo 2

Vamos primeiro passar Z_{2} para a forma polar (módulo e argumento). Relembrando as fórmulas básicas:
  • O módulo de um número complexo x+jy é \sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • O argumento (ângulo) é \arctan\!\Big(\dfrac{y}{x}\Big), lembrando de ajustar o sinal conforme o quadrante (ou seja olhar sinais de x e y).
Aplicando em Z_{2}=5-j4 (aqui x=5, y=-4):
  • Módulo:
|Z_{2}|=\sqrt{5^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt{25+16}=\sqrt{41}.
  • Argumento: como x=5>0 e y=-4<0, o ângulo está no quarto quadrante. Logo
\arg(Z_{2})=\arctan\!\Big(\dfrac{-4}{5}\Big)=-\arctan\!\Big(\dfrac{4}{5}\Big).
Portanto, em forma polar:
Z_{2}=\sqrt{41}\;\angle\Big(-\arctan\!\Big(\dfrac{4}{5}\Big)\Big).

Passo 3

Regra útil para divisão em forma polar (essa é a forma mais simples de dividir complexos quando um fator está em polar):
Se Z_a=r_a\angle\phi_a e Z_b=r_b\angle\phi_b, então
\frac{Z_a}{Z_b}=\frac{r_a}{r_b}\angle(\phi_a-\phi_b).
Explicação curta: em representação exponencial re^{j\varphi} a divisão dá \dfrac{r_a}{r_b}e^{j(\phi_a-\phi_b)}, que é exatamente dividir módulos e subtrair ângulos.

Passo 4

Aplicando a regra ao nosso caso:
  • Para Z_{3} temos r_{3}=5 e \phi_{3}=37^{\circ}.
  • Para Z_{2} temos r_{2}=\sqrt{41} e \phi_{2}=-\arctan\!\Big(\dfrac{4}{5}\Big).
Logo
\frac{Z_{3}}{Z_{2}}=\frac{5}{\sqrt{41}}\;\angle\!\Big(37^{\circ}-\big(-\arctan\!\big(\tfrac{4}{5}\big)\big)\Big) =\frac{5}{\sqrt{41}}\;\angle\!\Big(37^{\circ}+\arctan\!\big(\tfrac{4}{5}\big)\Big).
Isto já é uma forma exata e limpa do resultado em coordenadas polares, obtida sem calculadora.

Passo 5

(Complemento didático — forma retangular exata sem usar calculadora)
Se quiser a forma retangular (parte real e imaginária escritas), uma maneira exata sem avaliar senos e cossenos numericamente é usar a inversa de Z_{2} por meio do conjugado:
\frac{1}{Z_{2}}=\frac{5+j4}{41}.
Então
\frac{Z_{3}}{Z_{2}}=5\angle 37^{\circ}\cdot\frac{5+j4}{41} =\frac{5}{41}\,(5+j4)\big(\cos 37^{\circ}+j\sin 37^{\circ}\big).
Multiplicando e agrupando real/imaginário (com A=\cos 37^{\circ}, B=\sin 37^{\circ}):
\frac{Z_{3}}{Z_{2}}=\frac{5}{41}\Big((5A-4B)+j(5B+4A)\Big) =\frac{25A-20B}{41}+j\frac{25B+20A}{41}.
Isso é exato, mas para obter números decimais seria necessário avaliar A e B com uma tabela ou calculadora.

Resposta

\frac{Z_{3}}{Z_{2}}=\frac{5}{\sqrt{41}}\;\angle\!\Big(37^{\circ}+\arctan\!\big(\tfrac{4}{5}\big)\Big)

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