Dados os seguintes números complexos:
;
; calcule (evite usar calculadora):
Passo 1
O enunciado dá os números complexos (pegando-os do enunciado):
-
. -
.
O que é pedido:
- Calcular
.
Passo 2
Vamos primeiro passar
para a forma polar (módulo e argumento). Relembrando as fórmulas básicas:
- O módulo de um número complexo
é . - O argumento (ângulo) é
, lembrando de ajustar o sinal conforme o quadrante (ou seja olhar sinais de e ).
Aplicando em
(aqui
,
):
- Módulo:
- Argumento: como
e , o ângulo está no quarto quadrante. Logo
Portanto, em forma polar:
Passo 3
Regra útil para divisão em forma polar (essa é a forma mais simples de dividir complexos quando um fator está em polar):
Se e
, então
Se
Explicação curta: em representação exponencial
a divisão dá
, que é exatamente dividir módulos e subtrair ângulos.
Passo 4
Aplicando a regra ao nosso caso:
- Para
temos e . - Para
temos e .
Logo
Isto já é uma forma exata e limpa do resultado em coordenadas polares, obtida sem calculadora.
Passo 5
(Complemento didático — forma retangular exata sem usar calculadora)
Se quiser a forma retangular (parte real e imaginária escritas), uma maneira exata sem avaliar senos e cossenos numericamente é usar a inversa de por meio do conjugado:
Se quiser a forma retangular (parte real e imaginária escritas), uma maneira exata sem avaliar senos e cossenos numericamente é usar a inversa de
Então
Multiplicando e agrupando real/imaginário (com
,
):
Isso é exato, mas para obter números decimais seria necessário avaliar
e
com uma tabela ou calculadora.