Dados os seguintes números complexos: Z_{1}=2+j 3 ; Z_{2}=5-j 4 ; Z_{3}=5 \angle 37^{\circ}; Z_{4}=6 \angle-15^{\circ}; calcule (evite usar calculadora):
Z_{2}^{3}

Passo 1

O que o problema pede e o que foi dado.
  • Dado: Z_{2}=5-j4.
  • Pedido: calcular Z_{2}^{3}.
Ou seja, elevar ao cubo o número complexo 5-j4. Nenhuma outra informação foi pedida.

Passo 2

Escolha do método e por quê.
  • Existem basicamente duas maneiras naturais de fazer isso sem calculadora:
    1. Converter para forma polar e usar a fórmula de De Moivre: (r\angle\theta)^n = r^n \angle n\theta. Isso exige calcular r=\sqrt{a^2+b^2} e \theta=\arctan(b/a); aqui \theta seria um ângulo não «bonito», o que forçaria o uso de funções trigonométricas com calculadora ou tabelas.
    2. Fazer a expansão algébrica usando a propriedade j^2=-1 e o binômio de Newton. Esse método usa apenas multiplicações e somas de inteiros — ótimo quando se quer evitar calculadora.
  • Vou usar o método algébrico (binômio) porque é direto, usa apenas operações com inteiros e é fácil de fazer à mão na prova.

Passo 3

Lembrando propriedades básicas e a fórmula que vamos usar.
  • Propriedades de j: j^2=-1,\qquad j^3=j^2\cdot j=-1\cdot j=-j,\qquad j^4=1,\\ \text{etc.}
  • Seja um número complexo genérico z=a+jb, com a e b números reais (a parte real e a parte imaginária, respectivamente).
  • Aplicando o binômio de Newton para o cubo: (a+jb)^3 = a^3 + 3a^2(jb) + 3a(jb)^2 + (jb)^3.Agora usamos (jb)^2 = j^2 b^2 = -b^2 e (jb)^3 = j^3 b^3 = -j b^3. Substituindo: (a+jb)^3 = a^3 + 3j a^2 b + 3a(-b^2) - j b^3.Agrupando em parte real e imaginária: (a+jb)^3 = \bigl(a^3 - 3ab^2\bigr) + j\bigl(3a^2 b - b^3\bigr).
  • Esta é a fórmula prática que iremos aplicar. Aqui:
    • a é a parte real de z,
    • b é a parte imaginária (o coeficiente de j).

Passo 4

Aplicando a fórmula ao nosso número Z_2.
  • Identificamos a=5 e b=-4 porque Z_2=5+j(-4)=5-j4.
  • Calculamos termos auxiliares (não usar calculadora, tudo com inteiros): b^2 = (-4)^2 = 16, \qquad b^3 = (-4)^3 = -64, \qquad a^2 = 5^2 = 25, \qquad a^3 = 5^3 = 125.
  • Agora usamos a fórmula \text{Re}\bigl((a+jb)^3\bigr)=a^3-3ab^2, \qquad \text{Im}\bigl((a+jb)^3\bigr)=3a^2 b - b^3.Substituindo números: \text{Re} = 125 - 3\cdot5\cdot16 = 125 - 240 = -115,
\text{Im} = 3\cdot25\cdot(-4) - (-64) = -300 + 64 = -236.
  • Portanto Z_{2}^{3} = -115 + j(-236) = -115 - j236.

Passo 5

Pequena verificação de consistência (opcional e rápida).
  • Se quisermos checar a coerência de sinais: como Z_2 tem parte real positiva e parte imaginária negativa (quadrante 4), ao elevar ao cubo o argumento triplica (quadrante 4 times 3 → próximo ao quadrante 2 ou 3), então esperar uma parte real negativa e parte imaginária negativa é razoável — o resultado obtido -115 - j236 tem ambas negativas, o que não contradiz a intuição (verificação qualitativa rápida). A verificação algébrica acima é a confirmação exata.

Resposta

-115 - j236

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