Dados os seguintes números complexos:
;
; calcule (evite usar calculadora):
Passo 1
O que o problema pede e o que foi dado.
- Dado:
. - Pedido: calcular
.
Ou seja, elevar ao cubo o número complexo
. Nenhuma outra informação foi pedida.
Passo 2
Escolha do método e por quê.
-
Existem basicamente duas maneiras naturais de fazer isso sem calculadora:
- Converter para forma polar e usar a fórmula de De Moivre:
. Isso exige calcular e ; aqui seria um ângulo não «bonito», o que forçaria o uso de funções trigonométricas com calculadora ou tabelas. - Fazer a expansão algébrica usando a propriedade
e o binômio de Newton. Esse método usa apenas multiplicações e somas de inteiros — ótimo quando se quer evitar calculadora.
- Converter para forma polar e usar a fórmula de De Moivre:
-
Vou usar o método algébrico (binômio) porque é direto, usa apenas operações com inteiros e é fácil de fazer à mão na prova.
Passo 3
Lembrando propriedades básicas e a fórmula que vamos usar.
- Propriedades de
: - Seja um número complexo genérico
, com e números reais (a parte real e a parte imaginária, respectivamente). - Aplicando o binômio de Newton para o cubo:
Agora usamos e . Substituindo: Agrupando em parte real e imaginária: - Esta é a fórmula prática que iremos aplicar. Aqui:
-
é a parte real de , -
é a parte imaginária (o coeficiente de ).
-
Passo 4
Aplicando a fórmula ao nosso número
.
- Identificamos
e porque . - Calculamos termos auxiliares (não usar calculadora, tudo com inteiros):
- Agora usamos a fórmula
Substituindo números:
- Portanto
Passo 5
Pequena verificação de consistência (opcional e rápida).
- Se quisermos checar a coerência de sinais: como
tem parte real positiva e parte imaginária negativa (quadrante 4), ao elevar ao cubo o argumento triplica (quadrante 4 times 3 → próximo ao quadrante 2 ou 3), então esperar uma parte real negativa e parte imaginária negativa é razoável — o resultado obtido tem ambas negativas, o que não contradiz a intuição (verificação qualitativa rápida). A verificação algébrica acima é a confirmação exata.