Dados os seguintes números complexos: Z_{1}=2+j 3 ; Z_{2}=5-j 4 ; Z_{3}=5 \angle 37^{\circ}; Z_{4}=6 \angle-15^{\circ}; calcule (evite usar calculadora):
\sqrt{Z_{4}^{5}}\'

Passo 1

O enunciado dá os seguintes números complexos (estes valores foram fornecidos no enunciado):
  • Z_{1}=2+j\,3
  • Z_{2}=5-j\,4
  • Z_{3}=5\angle 37^\circ
  • Z_{4}=6\angle -15^\circ
O que é pedido: calcular \sqrt{Z_{4}^{5}}. Ou seja, primeiro elevar Z_{4} à quinta potência e depois extrair a raiz quadrada (expliquei em passos como fazer isso sem calculadora).

Passo 2

Ideia principal (sem ainda calcular): trabalhar em forma polar é muito mais simples para potências e raízes. Regras que vamos usar:
  • Se uma complexa tem forma polar \,z=r\angle\theta, então o módulo é r e o argumento é \theta.
  • Potência (Teorema de De Moivre): para inteiro n
z^{n}=r^{n}\angle (n\theta).
Isto é porque módulos se multiplicam e argumentos se somam quando multiplicamos números complexos em forma polar.
  • Raiz quadrada (duas observações): a raiz quadrada tem duas possíveis soluções. A “raiz principal” normalmente tem módulo \sqrt{r} e argumento \theta/2 (tomando o ângulo numa convenção), mas a outra raiz é o negativo da primeira (mesmo módulo, argumento \theta/2+180^\circ). Em fórmulas:
\sqrt{r\angle\theta} = \sqrt{r}\angle\frac{\theta}{2} \quad\text{ou}\quad \sqrt{r}\angle\Big(\frac{\theta}{2}+180^\circ\Big).

Passo 3

Aplicando o Teorema de De Moivre para calcular Z_{4}^{5}. Como Z_{4}=6\angle -15^\circ, temos:
Z_{4}^{5} = 6^{5}\angle(5\cdot(-15^\circ)) = 6^{5}\angle(-75^\circ).
Opcionalmente, pode-se notar que 6^{5}=6\cdot6\cdot6\cdot6\cdot6=7776, então
Z_{4}^{5}=7776\angle(-75^\circ).

Passo 4

Agora tirar a raiz quadrada de Z_{4}^{5}. Usando a regra da raiz:
\sqrt{Z_{4}^{5}} = \sqrt{6^{5}\angle(-75^\circ)} = (6^{5})^{1/2}\angle\frac{-75^\circ}{2} = 6^{5/2}\angle(-37{,}5^\circ).
Simplificando o módulo 6^{5/2}:
6^{5/2} = 6^{2}\cdot 6^{1/2} = 36\sqrt{6}.
Portanto a raiz principal fica
\sqrt{Z_{4}^{5}} = 36\sqrt{6}\angle(-37{,}5^\circ).

Passo 5

Observação sobre a segunda raiz (porque raiz quadrada é multi‑valorada): a outra solução é o negativo da anterior, que na forma polar corresponde a somar 180^\circ ao argumento. Assim a outra raiz é
36\sqrt{6}\angle\big(-37{,}5^\circ + 180^\circ\big)=36\sqrt{6}\angle 142{,}5^\circ.
Também podemos escrever as raízes em forma trigonométrica:
36\sqrt{6}\big(\cos(-37{,}5^\circ)+j\sin(-37{,}5^\circ)\big) \quad\text{e}\quad 36\sqrt{6}\big(\cos 142{,}5^\circ + j\sin 142{,}5^\circ\big).

Resposta

36\sqrt{6}\angle -37{,}5^\circ
36\sqrt{6}\angle 142{,}5^\circ

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