Dados os seguintes números complexos:
;
; calcule (evite usar calculadora):
Passo 1
O enunciado dá os seguintes números complexos (estes valores foram fornecidos no enunciado):
O que é pedido: calcular
. Ou seja, primeiro elevar
à quinta potência e depois extrair a raiz quadrada (expliquei em passos como fazer isso sem calculadora).
Passo 2
Ideia principal (sem ainda calcular): trabalhar em forma polar é muito mais simples para potências e raízes. Regras que vamos usar:
- Se uma complexa tem forma polar
, então o módulo é e o argumento é . - Potência (Teorema de De Moivre): para inteiro
Isto é porque módulos se multiplicam e argumentos se somam quando multiplicamos números complexos em forma polar.
- Raiz quadrada (duas observações): a raiz quadrada tem duas possíveis soluções. A “raiz principal” normalmente tem módulo
e argumento (tomando o ângulo numa convenção), mas a outra raiz é o negativo da primeira (mesmo módulo, argumento ). Em fórmulas:
Passo 3
Aplicando o Teorema de De Moivre para calcular
. Como
, temos:
Opcionalmente, pode-se notar que
, então
Passo 4
Agora tirar a raiz quadrada de
. Usando a regra da raiz:
Simplificando o módulo
:
Portanto a raiz principal fica
Passo 5
Observação sobre a segunda raiz (porque raiz quadrada é multi‑valorada): a outra solução é o negativo da anterior, que na forma polar corresponde a somar
ao argumento. Assim a outra raiz é
Também podemos escrever as raízes em forma trigonométrica: