Dados os seguintes números complexos:
;
; calcule (evite usar calculadora):
Passo 1
O enunciado dá o número complexo
e pede para calcular
.
Informações relevantes retiradas do enunciado:
Informações relevantes retiradas do enunciado:
- A magnitude (módulo) de
é . - O argumento (ângulo) de
é .
O que se pede: obter a raiz quadrada de. Não foi especificado “principal” explicitamente, então vou explicar o conceito de raízes quadradas complexas e apresentar a raiz principal e a outra raiz.
Passo 2
Conceito importante (como funciona em polar): qualquer número complexo pode ser escrito em forma polar como
onde
é o módulo (distância ao eixo real) e
é o argumento (ângulo medido a partir do eixo real). Outra forma equivalente é
.
Propriedade de potências/exponenciais que usaremos: para exponenciais complexas vale
Propriedade de potências/exponenciais que usaremos: para exponenciais complexas vale
No caso da raiz quadrada,
, portanto a operação na forma polar apenas toma a raiz quadrada do módulo e divide o ângulo por
. Vou explicar por quê no próximo passo, para você entender a regra.
Passo 3
Justificativa da regra (passo a passo): escrevendo
em forma exponencial,
Uma raiz quadrada
satisfaz
. Supondo
, então
Igualando módulo e argumento obtemos
e
onde
é um inteiro. Para raízes quadradas temos duas soluções distintas correspondendo a
e
. A solução com
é normalmente chamada raiz principal.
Passo 4
Aplicando a regra a
: o módulo é
e o ângulo é
. A raiz quadrada terá módulo
e argumento
(usando vírgula decimal conforme pedido). Portanto a raiz principal é
Passo 5
Expressão em forma trigonométrica (retangular simbólica): usando
e
,
Não foi usado calculadora para obter valores numéricos das funções trigonométricas, por isso deixei em termos de
e
. Se por acaso a prova pedir aproximação numérica e for permitido o uso de calculadora, aí sim calcula-se
e
.
Passo 6
Segunda raiz (a outra solução): como explicado, para
o argumento fica
portanto a outra raiz é
que é numericamente o negativo da raiz principal (mesma magnitude, ângulo girado 180^\circ).
Passo 7
Resumo prático para usar na prova:
- Se
, então as raízes quadradas são para . - Para
isso dá diretamente (raiz principal) e (outra raiz).