Dados os seguintes números complexos: Z_{1}=2+j 3 ; Z_{2}=5-j 4 ; Z_{3}=5 \angle 37^{\circ}; Z_{4}=6 \angle-15^{\circ}; calcule (evite usar calculadora):
\sqrt{Z_{3}}\'

Passo 1

O enunciado dá o número complexo Z_{3}=5\angle 37^\circ e pede para calcular \sqrt{Z_{3}}.
Informações relevantes retiradas do enunciado:
  • A magnitude (módulo) de Z_{3} é 5.
  • O argumento (ângulo) de Z_{3} é 37^\circ.
    O que se pede: obter a raiz quadrada de Z_{3}. Não foi especificado “principal” explicitamente, então vou explicar o conceito de raízes quadradas complexas e apresentar a raiz principal e a outra raiz.

Passo 2

Conceito importante (como funciona em polar): qualquer número complexo pode ser escrito em forma polar como
Z = r\angle\theta
onde r é o módulo (distância ao eixo real) e \theta é o argumento (ângulo medido a partir do eixo real). Outra forma equivalente é Z=r e^{j\theta}.
Propriedade de potências/exponenciais que usaremos: para exponenciais complexas vale
\left(r e^{j\theta}\right)^{\alpha} = r^{\alpha} e^{j\alpha\theta}.
No caso da raiz quadrada, \alpha=\tfrac{1}{2}, portanto a operação na forma polar apenas toma a raiz quadrada do módulo e divide o ângulo por 2. Vou explicar por quê no próximo passo, para você entender a regra.

Passo 3

Justificativa da regra (passo a passo): escrevendo Z em forma exponencial,
Z = r e^{j\theta}.
Uma raiz quadrada w satisfaz w^{2}=Z. Supondo w=\rho e^{j\varphi}, então
w^{2} = \rho^{2} e^{j2\varphi} = r e^{j\theta}.
Igualando módulo e argumento obtemos
\rho^{2}=r \quad\Rightarrow\quad \rho=\sqrt{r},
e
2\varphi = \theta + 360^\circ\cdot k \quad\Rightarrow\quad \varphi = \frac{\theta}{2} + 180^\circ\cdot k,
onde k é um inteiro. Para raízes quadradas temos duas soluções distintas correspondendo a k=0 e k=1. A solução com k=0 é normalmente chamada raiz principal.

Passo 4

Aplicando a regra a Z_{3}=5\angle 37^\circ: o módulo é r=5 e o ângulo é \theta=37^\circ. A raiz quadrada terá módulo \rho=\sqrt{5} e argumento \varphi=\dfrac{37^\circ}{2}=18{,}5^\circ (usando vírgula decimal conforme pedido). Portanto a raiz principal é
\sqrt{Z_{3}}=\sqrt{5}\angle 18{,}5^\circ.

Passo 5

Expressão em forma trigonométrica (retangular simbólica): usando \cos e \sin,
\sqrt{Z_{3}}=\sqrt{5}\big(\cos 18{,}5^\circ + j\sin 18{,}5^\circ\big).
Não foi usado calculadora para obter valores numéricos das funções trigonométricas, por isso deixei em termos de \cos e \sin. Se por acaso a prova pedir aproximação numérica e for permitido o uso de calculadora, aí sim calcula-se \cos 18{,}5^\circ e \sin 18{,}5^\circ.

Passo 6

Segunda raiz (a outra solução): como explicado, para k=1 o argumento fica
\varphi = 18{,}5^\circ + 180^\circ = 198{,}5^\circ,
portanto a outra raiz é
\sqrt{Z_{3}} = \sqrt{5}\angle 198{,}5^\circ,
que é numericamente o negativo da raiz principal (mesma magnitude, ângulo girado 180^\circ).

Passo 7

Resumo prático para usar na prova:
  • Se Z=r\angle\theta, então as raízes quadradas são \sqrt{r}\angle\big(\tfrac{\theta}{2}+180^\circ k\big) para k=0,1.
  • Para Z_{3}=5\angle 37^\circ isso dá diretamente \sqrt{5}\angle 18{,}5^\circ (raiz principal) e \sqrt{5}\angle 198{,}5^\circ (outra raiz).

Resposta

\sqrt{Z_{3}}=\sqrt{5}\angle 18{,}5^\circ = \sqrt{5}\big(\cos 18{,}5^\circ + j\sin 18{,}5^\circ\big)
\text{ou a segunda raiz: }\sqrt{5}\angle 198{,}5^\circ

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