O enunciado dá quatro linhas de um espectro ro-vibracional da banda fundamental de {}^{1}\mathrm{H}^{127}\mathrm{I} e pede as constantes rotacionais e as distâncias de equilíbrio para os dois estados (inferior v''=0 e superior v'=1). Dados fornecidos:
Linha \,R(0): \tilde{\nu}=2242,087\\ \text{cm}^{-1}.
Linha \,R(1): \tilde{\nu}=2254,257\\ \text{cm}^{-1}.
Linha \,P(1): \tilde{\nu}=2216,723\\ \text{cm}^{-1}.
Linha \,P(2): \tilde{\nu}=2203,541\\ \text{cm}^{-1}.
Também é fornecida a massa reduzida \mu=1,660\times10^{-27}\\ \text{kg} e as constantes físicas: h e c (usadas abaixo).
O que é pedido:
Determinar as constantes rotacionais (em \text{cm}^{-1}) dos dois estados: \tilde{B}'' (estado inferior) e \tilde{B}' (estado superior).
Determinar as distâncias de equilíbrio (comprimentos de ligação) r_e'' e r_e' correspondentes a esses estados.
Passo 2
Entender as fórmulas que ligam as posições das linhas ro-vibracionais às constantes rotacionais.
Para a transição vibracional fundamental v''=0\to v'=1 (aproximação rotor-harmônico, sem distorção centrífuga), as posições das linhas em números de onda \tilde{\nu} obedecem às fórmulas padrão (onde J é o número quântico de rotação no estado inferior):
onde \tilde{\nu}_0 é a origem da banda (aproximadamente \omega_e em \text{cm}^{-1}), e \tilde{B}',\tilde{B}'' são as constantes rotacionais em unidades de \text{cm}^{-1} para os estados superior e inferior, respectivamente.
Vamos aplicar essas fórmulas aos casos específicos fornecidos (cada J refere-se ao nível inferior J''):
Para R(0) (a partir de J''=0): \tilde{\nu}_{R(0)}=\tilde{\nu}_0+2\tilde{B}'.
Para R(1) (a partir de J''=1): \tilde{\nu}_{R(1)}=\tilde{\nu}_0+6\tilde{B}'-2\tilde{B}''.
Para P(1) (a partir de J''=1): \tilde{\nu}_{P(1)}=\tilde{\nu}_0-2\tilde{B}''.
Para P(2) (a partir de J''=2): \tilde{\nu}_{P(2)}=\tilde{\nu}_0+2\tilde{B}'-6\tilde{B}''.
Estas expressões são obtidas substituindo J=0,1,2 nas fórmulas gerais e simplificando.
Passo 3
Montar equações lineares e eliminar \tilde{\nu}_0 para obter relações entre \tilde{B}' e \tilde{B}''.
Usando \tilde{\nu}_{R(0)}=\tilde{\nu}_0+2\tilde{B}' e \tilde{\nu}_{P(1)}=\tilde{\nu}_0-2\tilde{B}'', subtraindo a segunda da primeira:
Usando \tilde{\nu}_{P(2)}=\tilde{\nu}_0+2\tilde{B}'-6\tilde{B}'' e substituindo \tilde{\nu}_0=\tilde{\nu}_{R(0)}-2\tilde{B}' (da expressão de R(0)), obtemos:
Atenção de unidades: aqui \tilde{B} deve estar em \text{m}^{-1}. Os valores obtidos a partir do espectro estão em \text{cm}^{-1}; para usar a fórmula com c em \text{m}\,\text{s}^{-1} converte-se \tilde{B}(\text{cm}^{-1}) para \tilde{B}(\text{m}^{-1}) multiplicando por 100.
Passo 6
Calcular numericamente os comprimentos de ligação r'' e r'.
Interpretação rápida: a constante rotacional do estado excitado v'=1 é ligeiramente menor que a do estado fundamental v''=0, o que corresponde a um alongamento médio da ligação no estado vibracional excitado (r’ > r’’) — resultado físico esperado.
Passo 7
Resumo numérico final (valores com precisão adequada e unidades).