Para o gás
no estado
, sabe-se que
,
e
. Calcule o parâmetro
, e faça um gráfico em escala do potencial de Morse para
. Determine também a anarmonicidade da curva e o último nível vibracional acessível. ( 4,0 pontos)
Passo 1
O enunciado pede que, para a molécula diatômica
no estado dado, com os parâmetros conhecidos, eu calcule o parâmetro
do potencial de Morse, faça um gráfico em escala do potencial, determine a anarmonicidade da curva e o último nível vibracional ligado acessível.
Os dados fornecidos são (peguei estes valores do enunciado):
Os dados fornecidos são (peguei estes valores do enunciado):
-
(energia de dissociação por molécula). -
(constante vibracional em números de onda). -
(distância de equilíbrio).
O que preciso entregar:
- O valor do parâmetro
(unidades SI e também uma unidade prática como ). - Um gráfico em escala do potencial de Morse (vou fornecer a equação usada, a convenção adotada e pontos calculados prontos para plotagem).
- A anarmonicidade (expressa como
em e o coeficiente adimensional ). - O último nível vibracional ligado acessível
(número quântico vibracional inteiro).
Passo 2
Primeira coisa prática: calcular a massa reduzida
da molécula
. Explico devagar (sem pular etapas):
- Para dois átomos idênticos de massa atômica
, a massa reduzida é
- A massa de um átomo de oxigênio (massa atômica aproximadamente
) em kg é
- Então
- Portanto a massa reduzida vale
(Comentário amigo: aqui eu mostrei como se converte u
kg e como se obtém
. É um passo mecânico: só multiplicar e dividir.)
Passo 3
Agora derivamos a relação entre
(vou usar a notação
para o parâmetro do Morse) e os dados espectroscópicos. Vou explicar a física por trás:
- O potencial de Morse (forma sem deslocamento) é comumente escrito
que tem
e
. Frequentemente usamos a forma deslocada
assim
(mínimo) e
(energia de dissociação medida a partir do mínimo). Eu vou usar a segunda forma para desenhar o gráfico (é a mais intuitiva: mínimo negativo).
- Perto do mínimo, o potencial é aproximadamente harmônico com constante elástica
. Para Morse vale a relação
- A frequência vibracional harmônica (angular) é
. Em termos da constante espectroscópica (em ), a relação entre e é
onde
é a velocidade da luz (em
se
está em
).
- Combinando tudo:
- Isolando
:
Agora aplico numericamente, com cuidado de unidades:
-
. -
. -
. -
.
Faço a conta em etapas vestindo tudo em SI consistente (para
em
vou usar
em
):
- usar
e não é conveniente; mantenho a forma com calculando com em e, em seguida, cuido das potências: é mais simples proceder como eu fiz na derivação. Para ser direto e claro, uso a forma numérica que já dá em :
Calculei (passo-a-passo; mostro resultados numéricos aproximados):
portanto
Para apresentar em unidades práticas:
(Dica de prova: memorize a relação
e que
. A partir daí isola
— é rápido.)
Passo 4
Agora calculo a anarmonicidade ligada ao potencial de Morse. Vou explicar a teoria e fazer contas:
- Para o potencial de Morse, os níveis vibracionais (em unidades de energia) se escrevem, ao expandir, como
(se quisermos o termo absoluto; aqui trabalho com números de onda
). A constante espectroscópica de anarmonicidade
para o Morse tem a expressão simples (derivável do espectro exato do Morse):
Vou usar essa fórmula porque é direta e já está em unidades de
(se
estiver em J e
em
).
- Valores numéricos:
- O coeficiente adimensional
é simplesmente
Interpretação prática:
dá a medida da quebra de linearidade (distância entre as séries de níveis vibracionais diminui conforme
cresce). Para
aqui, a anarmonicidade é moderada:
(comparado com
).
Passo 5
Determinar o último nível vibracional ligado acessível
. Dou duas formas equivalentes (uma com parâmetro
do Morse, outra usando a fórmula direta) e aplico numericamente:
- Definição via solução exata do Morse: o número máximo de níveis ligados é dado por
e os níveis ligados vão de
até
(parte inteira).
- Porém há uma simplificação algebraica útil: usando as relações entre
, e (mostradas antes) obtém-se
Isso é mais prático porque envolve apenas
,
e
.
- Calculo numérico:
Logo
Conclusão: o último nível vibracional ligado tem número quântico
ou seja, há
níveis ligados contando
a
.
(Comentário prático de prova: usar a forma
é rápido e evita calcular
outra vez. Bom para checar consistência.)
Passo 6
Fazer o gráfico em escala do potencial de Morse. Como não posso desenhar aqui, vou dar tudo pronto para você plotar (pontos numéricos em escala) e explicar como montar o gráfico passo a passo — isso serve para desenhar rápido à mão ou fazer no Python/Excel.
- Convenção adotada para o gráfico (mais usada em química física didática):
Com essa escolha:
(mínimo) e
(separa átomos livres).
- Conversões úteis:
Ou seja, o poço tem profundidade
.
- Dados prontos para plotagem (use eixo horizontal
em e eixo vertical em ). Eu calculei vários pontos usando e . Os valores abaixo dão uma boa escala para desenhar a curva (do lado repulsivo, mínimo e cauda):
-
, (forte repulsão à esquerda) -
, -
, -
(mínimo), -
, -
, -
, -
,
- Como desenhar (modo rápido à mão):
- Eixo
: de, digamos, até . Marque . - Eixo
: energia de (abaixo) até (acima); o mínimo estará em e a parede repulsiva sobe rapidamente para valores positivos (veja ). - Plote os pontos indicados e faça uma curva suave que: (i) cai fortemente à esquerda (repulsão) para valores positivos; (ii) tem mínimo em
em ; (iii) sobe lentamente para quando cresce (assimptota de dissociação). - Se fizer no computador (Python/Matplotlib ou Excel), use a fórmula exata e muitos pontos entre
e para uma curva suave.
(Dica amigável: se for desenhar numa prova, desenhe o mínimo em
em
, a parede à esquerda muito íngreme e a cauda à direita se aproximando de zero. Mostre alguns níveis vibracionais esquemáticos igualmente espaçados perto do fundo e ficando mais juntos conforme se aproximam da dissociação — isso demonstra que você entendeu a anarmonicidade.)