Para o gás \mathrm{O}_{2} no estado { }^{3} \Sigma_{\mathrm{g}}{ }^{-}, sabe-se que D_{\mathrm{e}}=8,19 \times 10^{-19} \mathrm{~J}, \omega_{\mathrm{e}}=1580,19 \mathrm{~cm}^{-1} e R_{\mathrm{e}}=120,752 \mathrm{pm}. Calcule o parâmetro \alpha, e faça um gráfico em escala do potencial de Morse para \mathrm{O}_{2}. Determine também a anarmonicidade da curva e o último nível vibracional acessível. ( 4,0 pontos)

Passo 1

O enunciado pede que, para a molécula diatômica \mathrm{O}_2 no estado dado, com os parâmetros conhecidos, eu calcule o parâmetro \alpha do potencial de Morse, faça um gráfico em escala do potencial, determine a anarmonicidade da curva e o último nível vibracional ligado acessível.
Os dados fornecidos são (peguei estes valores do enunciado):
  • D_{\mathrm{e}} = 8{,}19\times 10^{-19}\\ \mathrm{J} (energia de dissociação por molécula).
  • \tilde{\nu}_{\mathrm{e}} = 1580{,}19\\ \mathrm{cm^{-1}} (constante vibracional em números de onda).
  • R_{\mathrm{e}} = 120{,}752\\ \mathrm{pm} (distância de equilíbrio).
O que preciso entregar:
  1. O valor do parâmetro \alpha (unidades SI e também uma unidade prática como \mathrm{\AA^{-1}}).
  2. Um gráfico em escala do potencial de Morse (vou fornecer a equação usada, a convenção adotada e pontos calculados prontos para plotagem).
  3. A anarmonicidade (expressa como \tilde{\nu}_{\mathrm{e}} x_{\mathrm{e}} em \mathrm{cm^{-1}} e o coeficiente adimensional x_{\mathrm{e}}).
  4. O último nível vibracional ligado acessível v_{\max} (número quântico vibracional inteiro).

Passo 2

Primeira coisa prática: calcular a massa reduzida \mu da molécula \mathrm{O}_2. Explico devagar (sem pular etapas):
  • Para dois átomos idênticos de massa atômica m, a massa reduzida é
\mu=\frac{m}{2}.
  • A massa de um átomo de oxigênio (massa atômica aproximadamente 15{,}999\\ \mathrm{u}) em kg é
m = 15{,}999\cdot m_u, \qquad m_u = 1{,}66053906660\times 10^{-27}\\ \mathrm{kg}.
  • Então
m = 15{,}999\times 1{,}66053906660\times 10^{-27}\\ \mathrm{kg} \approx 2{,}65686234\times 10^{-26}\\ \mathrm{kg}.
  • Portanto a massa reduzida vale
\mu = \frac{m}{2} \approx 1{,}32843117\times 10^{-26}\\ \mathrm{kg}.
(Comentário amigo: aqui eu mostrei como se converte u \to kg e como se obtém \mu. É um passo mecânico: só multiplicar e dividir.)

Passo 3

Agora derivamos a relação entre \alpha (vou usar a notação \alpha para o parâmetro do Morse) e os dados espectroscópicos. Vou explicar a física por trás:
  • O potencial de Morse (forma sem deslocamento) é comumente escrito
V(r) = D_{\mathrm{e}}\bigl(1 - e^{-\alpha (r-r_{\mathrm{e}})}\bigr)^2,
que tem V(r_{\mathrm{e}})=0 e V(\infty)=D_{\mathrm{e}}. Frequentemente usamos a forma deslocada
V_{\text{shift}}(r) = D_{\mathrm{e}}\bigl(1 - e^{-\alpha (r-r_{\mathrm{e}})}\bigr)^2 - D_{\mathrm{e}},
assim V_{\text{shift}}(r_{\mathrm{e}})=-D_{\mathrm{e}} (mínimo) e V_{\text{shift}}(\infty)=0 (energia de dissociação medida a partir do mínimo). Eu vou usar a segunda forma para desenhar o gráfico (é a mais intuitiva: mínimo negativo).
  • Perto do mínimo, o potencial é aproximadamente harmônico com constante elástica k. Para Morse vale a relação
k = 2 D_{\mathrm{e}} \alpha^2.
  • A frequência vibracional harmônica (angular) é \omega = \sqrt{k/\mu}. Em termos da constante espectroscópica \tilde{\nu}_{\mathrm{e}} (em \mathrm{cm^{-1}}), a relação entre \omega e \tilde{\nu}_{\mathrm{e}} é
\omega = 2\pi c \tilde{\nu}_{\mathrm{e}},
onde c é a velocidade da luz (em \mathrm{cm\\ s^{-1}} se \tilde{\nu}_{\mathrm{e}} está em \mathrm{cm^{-1}}).
  • Combinando tudo:
\omega = \alpha \sqrt{\dfrac{2 D_{\mathrm{e}}}{\mu}} \quad\Rightarrow\quad 2\pi c \tilde{\nu}_{\mathrm{e}} = \alpha \sqrt{\dfrac{2 D_{\mathrm{e}}}{\mu}}.
  • Isolando \alpha:
\alpha = \dfrac{2\pi c \tilde{\nu}_{\mathrm{e}}}{\sqrt{2 D_{\mathrm{e}}/\mu}} = 2\pi c \tilde{\nu}_{\mathrm{e}}\sqrt{\dfrac{\mu}{2 D_{\mathrm{e}}}}.
Agora aplico numericamente, com cuidado de unidades:
  • c = 2{,}99792458\times 10^{10}\\ \mathrm{cm\\ s^{-1}}.
  • \tilde{\nu}_{\mathrm{e}} = 1580{,}19\\ \mathrm{cm^{-1}}.
  • \mu = 1{,}32843117\times 10^{-26}\\ \mathrm{kg}.
  • D_{\mathrm{e}} = 8{,}19\times 10^{-19}\\ \mathrm{J}.
Faço a conta em etapas vestindo tudo em SI consistente (para \alpha em \mathrm{m^{-1}} vou usar c em \mathrm{m\\ s^{-1}}):
  • usar c = 2{,}99792458\times 10^{8}\\ \mathrm{m\\ s^{-1}} e \tilde{\nu}_{\mathrm{e}} = 1580{,}19\\ \mathrm{cm^{-1}} = 1{,}580{,}19\times 10^{2}\\ \mathrm{m^{-1}} não é conveniente; mantenho a forma com 2\pi c \tilde{\nu}_{\mathrm{e}} calculando 2\pi c com c em \mathrm{cm\\ s^{-1}} e, em seguida, cuido das potências: é mais simples proceder como eu fiz na derivação. Para ser direto e claro, uso a forma numérica que já dá \alpha em \mathrm{m^{-1}}:
Calculei (passo-a-passo; mostro resultados numéricos aproximados):
2\pi c \tilde{\nu}_{\mathrm{e}} \approx 2{,}9765\times 10^{14}\\ \mathrm{s^{-1}},
\sqrt{\dfrac{\mu}{2D_{\mathrm{e}}}} \approx 9{,}006\times 10^{-5}\\ \mathrm{s\;m^{-1}} \\ (\text{unidade combinada, ver a derivação}),çã
portanto
\alpha \approx 2{,}9765\times 10^{14}\times 9{,}006\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^{-1}} \approx 2{,}679\times 10^{10}\\ \mathrm{m^{-1}}.
Para apresentar em unidades práticas:
\alpha \approx 2{,}68\times 10^{10}\\ \mathrm{m^{-1}} \qquad\text{equivalente a}\qquad \alpha \approx 2{,}68\\ \mathrm{\AA^{-1}}\quad(\text{porque }1\\ \mathrm{\AA}=10^{-10}\\ \mathrm{m}).
(Dica de prova: memorize a relação k=2D\alpha^2 e que \omega=2\pi c\tilde{\nu}. A partir daí isola \alpha — é rápido.)

Passo 4

Agora calculo a anarmonicidade ligada ao potencial de Morse. Vou explicar a teoria e fazer contas:
  • Para o potencial de Morse, os níveis vibracionais (em unidades de energia) se escrevem, ao expandir, como
E_v = h c\Bigl[\tilde{\nu}_{\mathrm{e}}\bigl(v+\tfrac{1}{2}\bigr) - \tilde{\nu}_{\mathrm{e}} x_{\mathrm{e}}\bigl(v+\tfrac{1}{2}\bigr)^2\Bigr] - D_{\mathrm{e}}
(se quisermos o termo absoluto; aqui trabalho com números de onda \mathrm{cm^{-1}}). A constante espectroscópica de anarmonicidade \tilde{\nu}_{\mathrm{e}} x_{\mathrm{e}} para o Morse tem a expressão simples (derivável do espectro exato do Morse):
\tilde{\nu}_{\mathrm{e}} x_{\mathrm{e}} = \dfrac{h c\,\tilde{\nu}_{\mathrm{e}}^{2}}{4 D_{\mathrm{e}}}.
Vou usar essa fórmula porque é direta e já está em unidades de \mathrm{cm^{-1}} (se D_{\mathrm{e}} estiver em J e h c em \mathrm{J\cdot cm}).
  • Valores numéricos:
h c = 6{,}62607015\times 10^{-34}\\ \mathrm{J\\ s}\times 2{,}99792458\times 10^{10}\\ \mathrm{cm\\ s^{-1}} =1{,}98644586\times 10^{-23}\\ \mathrm{J\cdot cm}.
\tilde{\nu}_{\mathrm{e}}^{2} = \bigl(1580{,}19\bigr)^2 \approx 2{,}497{,}000{,}4\\ (\mathrm{cm^{-2}}).
\tilde{\nu}_{\mathrm{e}} x_{\mathrm{e}} = \dfrac{1{,}98644586\times 10^{-23}\times 2{,}497{,}000{,}4}{4\times 8{,}19\times 10^{-19}} \approx 15{,}15\\ \mathrm{cm^{-1}}.
  • O coeficiente adimensional x_{\mathrm{e}} é simplesmente
x_{\mathrm{e}} = \dfrac{\tilde{\nu}_{\mathrm{e}} x_{\mathrm{e}}}{\tilde{\nu}_{\mathrm{e}}} \approx \dfrac{15{,}15}{1580{,}19}\approx 0{,}00959.
Interpretação prática: \tilde{\nu}_{\mathrm{e}} x_{\mathrm{e}} dá a medida da quebra de linearidade (distância entre as séries de níveis vibracionais diminui conforme v cresce). Para \mathrm{O}_2 aqui, a anarmonicidade é moderada: \sim 15{,}15\\ \mathrm{cm^{-1}} (comparado com \tilde{\nu}_{\mathrm{e}}=1580{,}19\\ \mathrm{cm^{-1}}).

Passo 5

Determinar o último nível vibracional ligado acessível v_{\max}. Dou duas formas equivalentes (uma com parâmetro \lambda do Morse, outra usando a fórmula direta) e aplico numericamente:
  • Definição via solução exata do Morse: o número máximo de níveis ligados é dado por
\lambda = \frac{\sqrt{2\mu D_{\mathrm{e}}}}{\hbar \alpha},
e os níveis ligados vão de v=0 até v_{\max} = \lfloor \lambda - \tfrac{1}{2}\rfloor (parte inteira).
  • Porém há uma simplificação algebraica útil: usando as relações entre \alpha, \tilde{\nu}_{\mathrm{e}} e D_{\mathrm{e}} (mostradas antes) obtém-se
\lambda = \frac{2 D_{\mathrm{e}}}{h c \tilde{\nu}_{\mathrm{e}}}.
Isso é mais prático porque envolve apenas D_{\mathrm{e}}, h c e \tilde{\nu}_{\mathrm{e}}.
  • Calculo numérico:
\lambda = \dfrac{2\times 8{,}19\times 10^{-19}\\ \mathrm{J}}{1{,}98644586\times 10^{-23}\\ \mathrm{J\cdot cm}\times 1580{,}19\\ \mathrm{cm^{-1}}} \approx 52{,}18.
Logo
v_{\max} = \bigl\lfloor \lambda - \tfrac{1}{2}\bigr\rfloor = \lfloor 52{,}18 - 0{,}5\rfloor = \lfloor 51{,}68\rfloor = 51.
Conclusão: o último nível vibracional ligado tem número quântico
v_{\max} = 51,
ou seja, há 52 níveis ligados contando v=0 a v=51.
(Comentário prático de prova: usar a forma \lambda = 2D/(h c \tilde{\nu}) é rápido e evita calcular \alpha outra vez. Bom para checar consistência.)

Passo 6

Fazer o gráfico em escala do potencial de Morse. Como não posso desenhar aqui, vou dar tudo pronto para você plotar (pontos numéricos em escala) e explicar como montar o gráfico passo a passo — isso serve para desenhar rápido à mão ou fazer no Python/Excel.
  1. Convenção adotada para o gráfico (mais usada em química física didática):
V(r) = D_{\mathrm{e}}\bigl(1 - e^{-\alpha (r-r_{\mathrm{e}})}\bigr)^2 - D_{\mathrm{e}}.
Com essa escolha: V(r_{\mathrm{e}})=-D_{\mathrm{e}} (mínimo) e V(\infty)=0 (separa átomos livres).
  1. Conversões úteis:
D_{\mathrm{e}} \\ (\text{por mol}) = D_{\mathrm{e}}\times N_A \approx 8{,}19\times 10^{-19}\times 6{,}02214076\times 10^{23}\\ \mathrm{J/mol} \approx 4{,}93213\times 10^{5}\\ \mathrm{J/mol} = 493{,}21\\ \mathrm{kJ/mol}.
Ou seja, o poço tem profundidade 493{,}21\\ \mathrm{kJ/mol}.
  1. Dados prontos para plotagem (use eixo horizontal r em \mathrm{pm} e eixo vertical V(r) em \mathrm{kJ/mol}). Eu calculei vários pontos usando \alpha = 2{,}679\times 10^{10}\\ \mathrm{m^{-1}} e R_{\mathrm{e}}=120{,}752\\ \mathrm{pm}. Os valores abaixo dão uma boa escala para desenhar a curva (do lado repulsivo, mínimo e cauda):
  • r = 80\\ \mathrm{pm}, V(r) \approx 1438{,}6\\ \mathrm{kJ/mol} (forte repulsão à esquerda)
  • r = 100\\ \mathrm{pm}, V(r) \approx -220{,}9\\ \mathrm{kJ/mol}
  • r = 110\\ \mathrm{pm}, V(r) \approx -438{,}5\\ \mathrm{kJ/mol}
  • r = 120{,}752\\ \mathrm{pm} (mínimo), V(r) = -493{,}21\\ \mathrm{kJ/mol}
  • r = 130\\ \mathrm{pm}, V(r) \approx -469{,}6\\ \mathrm{kJ/mol}
  • r = 140\\ \mathrm{pm}, V(r) \approx -413{,}1\\ \mathrm{kJ/mol}
  • r = 160\\ \mathrm{pm}, V(r) \approx -284{,}4\\ \mathrm{kJ/mol}
  • r = 200\\ \mathrm{pm}, V(r) \approx -111{,}0\\ \mathrm{kJ/mol}
  1. Como desenhar (modo rápido à mão):
  • Eixo x: r de, digamos, 80\\ \mathrm{pm} até 250\\ \mathrm{pm}. Marque R_{\mathrm{e}}=120{,}752\\ \mathrm{pm}.
  • Eixo y: energia de -600\\ \mathrm{kJ/mol} (abaixo) até +1600\\ \mathrm{kJ/mol} (acima); o mínimo estará em -493{,}21\\ \mathrm{kJ/mol} e a parede repulsiva sobe rapidamente para valores positivos (veja 80\\ \mathrm{pm}).
  • Plote os pontos indicados e faça uma curva suave que: (i) cai fortemente à esquerda (repulsão) para valores positivos; (ii) tem mínimo em -493{,}21\\ \mathrm{kJ/mol} em r_{\mathrm{e}}; (iii) sobe lentamente para 0 quando r cresce (assimptota de dissociação).
  • Se fizer no computador (Python/Matplotlib ou Excel), use a fórmula exata e muitos pontos entre 80 e 250\\ \mathrm{pm} para uma curva suave.
(Dica amigável: se for desenhar numa prova, desenhe o mínimo em -493\\ \mathrm{kJ/mol} em 120{,}8\\ \mathrm{pm}, a parede à esquerda muito íngreme e a cauda à direita se aproximando de zero. Mostre alguns níveis vibracionais esquemáticos igualmente espaçados perto do fundo e ficando mais juntos conforme se aproximam da dissociação — isso demonstra que você entendeu a anarmonicidade.)

Resposta

\alpha \approx 2{,}68\times 10^{10}\\ \mathrm{m^{-1}} \approx 2{,}68\\ \mathrm{\AA^{-1}}
\tilde{\nu}_{\mathrm{e}} x_{\mathrm{e}} \approx 15{,}15\\ \mathrm{cm^{-1}},\quad x_{\mathrm{e}} \approx 0{,}00959
v_{\max} = 51

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