Maximização de formas quadráticas na esfera unitária: Seja
, matriz definida positiva com autovalores
e autovetores associados
. Se
é ortogonal cujas colunas são dadas pelo autovetores de
, tal que
, prove que:
(veja a solução na página 81 do livro do Johnson e Wichern (2002), Applied Multvariate Statistical Analysis,
edição)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para uma matriz simétrica definida positiva
com autovalores ordenados
e autovetores
, o quociente de Rayleigh
atinge seu valor máximo
em
e seu valor mínimo
em
. Vamos usar a diagonalização
e a mudança de variável
.
Passo 2
Como
é ortogonal e
, escrevemos
e obtemos
Assim o quociente vira
Passo 3
O quociente
é uma média ponderada dos autovalores
com pesos positivos
. Pela propriedade de médias ponderadas e pela ordenação dos
, temos
Passo 4
Para atingir o máximo
, basta concentrar toda a massa em
, isto é
, o que equivale a
. De modo similar, para atingir o mínimo
tomamos
, resultando em
.
Passo 5
Concluímos que o valor máximo do quociente de Rayleigh é
em
e o valor mínimo é
em
.