Maximização de formas quadráticas na esfera unitária: Seja Ap times p, matriz definida positiva com autovalores lambda1 >= lambda2 >= cdots >= lambdap>0 e autovetores associados e1, e2, ldots, ep. Se Pp times p é ortogonal cujas colunas são dadas pelo autovetores de A, tal que y=P^t x, prove que:
& max x neq 0 x^t A xx^t x=lambda1 , obtido quando x=e1 & min x neq 0 x^t A xx^t x=lambdap, obtido quando x=ep
(veja a solução na página 81 do livro do Johnson e Wichern (2002), Applied Multvariate Statistical Analysis, 5^ a edição)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para uma matriz simétrica definida positiva A com autovalores ordenados lambda1>=cdots>=lambdap>0 e autovetores e1,dots,ep, o quociente de Rayleigh x^TAx/x^Tx atinge seu valor máximo lambda1 em x=e1 e seu valor mínimo lambdap em x=ep. Vamos usar a diagonalização A=PLambda P^T e a mudança de variável y=P^T x.

Passo 2

Como P é ortogonal e A=PLambda P^T, escrevemos x=P y e obtemos
x^T A x = y^T P^T A P y = y^T Lambda y = sumi=1^p lambdai yi^2,
x^T x = y^T y = sumi=1^p yi^2
Assim o quociente vira
R(y)=sumi=1^p lambdai yi^2sumi=1^p yi^2

Passo 3

O quociente R(y) é uma média ponderada dos autovalores lambdai com pesos positivos yi^2/sum yi^2. Pela propriedade de médias ponderadas e pela ordenação dos lambdai, temos
lambdap <= R(y) <= lambda1

Passo 4

Para atingir o máximo lambda1, basta concentrar toda a massa em y1, isto é y=(1,0,dots,0), o que equivale a x=P y=e1. De modo similar, para atingir o mínimo lambdap tomamos y=(0,dots,0,1), resultando em x=ep.

Passo 5

Concluímos que o valor máximo do quociente de Rayleigh é lambda1 em x=e1 e o valor mínimo é lambdap em x=ep.

Resposta

maxxneq0dfracx^T A xx^T x=lambda1 obtido em x=e1, e minxneq0dfracx^T A xx^T x=lambdap obtido em x=ep.

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